Ελάχιστος λόγος

KARKAR · #1

: Ελάχιστος λόγος.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

Σημείο

κινείται επί της διχοτόμου

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με b>c

. Δείξτε ότι το ελάχιστο

του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ επιτυγχάνεται , όταν το

συμπέσει με το έγκεντρο του τριγώνου και υπολογίστε

τον λόγο αυτό συναρτήσει των πλευρών a,b,c

του τριγώνου . Εφαρμογή : a=9 , b=7 , c=6

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2019 9:10 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΣημείο κινείται επί της διχοτόμου , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με . Δείξτε ότι το ελάχιστο

του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ επιτυγχάνεται , όταν το συμπέσει με το έγκεντρο του τριγώνου και υπολογίστε

τον λόγο αυτό συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου . Εφαρμογή :

Από το Θεώρημα του Stewart για τα τρίγωνα $\vartriangle ABD,\vartriangle ACD$ και τις σεβιανές BS,CS

αντίστοιχα παίρνουμε:

Από το Θεώρημα του Stewart για τα τρίγωνα $\vartriangle ABD,\vartriangle ACD$ και τις σεβιανές BS,CS

αντίστοιχα παίρνουμε:

$AD\left( AS\cdot SD+S{{B}^{2}} \right)=AS\cdot BD+SD\cdot AB$ και $AD\left( AS\cdot SD+S{{C}^{2}} \right)=AS\cdot CD+SD\cdot AC$ οπότε λύνοντας ως προς $S{{B}^{2}},S{{C}^{2}}$ και διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

$f\left( x \right)=\dfrac{S{{B}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{AS\cdot BD+SD\cdot AB-AD\cdot AS\cdot SD}{AS\cdot CD+SD\cdot AC-AD\cdot AS\cdot SD}=$ $\dfrac{x\cdot \dfrac{ac}{b+c}+({{d}_{a}}-x)c-{{d}_{a}}\cdot x\cdot \left( {{d}_{a}}-x \right)}{x\cdot \dfrac{ab}{b+c}+({{d}_{a}}-x)b-{{d}_{a}}\cdot x\cdot \left( {{d}_{a}}-x \right)},x\in \left[ 0,{{d}_{a}} \right]$
Για την

με παραγώγους ή αλλιώς (μέσω τριωνύμου) προκύπτει ότι το ελάχιστό της παρουσιάζεται για $x=\dfrac{{{d}_{a}}\left( b+c \right)}{a+b+c}=\dfrac{{{d}_{a}}\cdot c}{c+\dfrac{ac}{b+c}}$ που υποδηλώνει ότι το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου. Όσο για τον ελάχιστο λόγο θα έχουμε $\min \dfrac{SB}{SC}=\sqrt{f\left( \dfrac{{{d}_{a}}\cdot c}{c+\dfrac{ac}{b+c}} \right)}$ και αν θεωρήσουμε γνωστόν τον τύπο (από το Θεώρημα του Stewart επίσης προκύπτει ) ${{d}_{a}}=\sqrt{bc\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\left( b+c \right)}^{2}}} \right)}$ θα τον έχουμε σε συνάρτηση με τις πλευρές

Στάθης

Υ.Σ. Οι πράξεις παραλείπονται

#3

Γράφω απλώς τον τελικό τύπο $\boxed{{\left( {\frac{{SB}}{{SC}}} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{{c(a + c - b)}}{{b(a + b - c)}}}}$ και για την εφαρμογή ο λόγος γίνεται $\sqrt{\dfrac{24}{35}}$

#4

Μια σκέψη .

‘Έστω

η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου SBC

.. Ο λόγος , $\dfrac{{SB}}{{SC}}$ ισούται με το λόγο των αποστάσεων κάθε σημείου της

από τις $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC$ .

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές του

στις $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC$ . Θα είναι : $\dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{TK}}{{TL}}$

: Ελάχιστος λόγος.png (36.8 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

Το τετράπλευρο SKTL

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

στον οποίο ανήκει και η προβολή

του

στη

.

Ο λόγος $\dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{TK}}{{TL}}$ γίνεται ελάχιστος όταν η

συμπέσει με τη διάμετρο

και τότε το

συμπίπτει με το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Τότε ο λόγος ισούται με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η

με την

Ελάχιστος λόγος

Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση