Απουσία αρμονίας

KARKAR · #1

: Απουσία αρμονίας.png (10.57 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Το ύψος

χωρίζει τη βάση

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα BD= k

και

.

Φέρουμε : $DE \perp AB , DZ \perp AC$ . Οι προεκτάσεις των ZE , CB

τέμνονται στο

. Υπολογίστε

το τμήμα x= SB

και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία D,S

, να είναι συζυγή αρμονικά των B , C

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος χωρίζει τη βάση , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα και .

Φέρουμε : $DE \perp AB , DZ \perp AC$ . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο . Υπολογίστε

το τμήμα και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία , να είναι συζυγή αρμονικά των .

$\boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}}$

Αρμονία δεν υπάρχει αφού τότε θα έπρεπε : $\dfrac{k}{m} = \dfrac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Rightarrow m = k$ που έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση .

Edit: Άρση απόκρυψης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος χωρίζει τη βάση , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα και .

Φέρουμε : $DE \perp AB , DZ \perp AC$ . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο . Υπολογίστε

το τμήμα και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία , να είναι συζυγή αρμονικά των .

: Απουσία αρμονίας.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Μενέλαος στο ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {SEZ} ,$ $\boxed{\frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{x}{{x + k + m}} \cdot \frac{{ZC}}{{AZ}} = 1}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \frac{{AE}}{{AZ}} = \frac{b}{c},{k^2} = cEB,{m^2} = bZC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AZ}} \cdot \frac{{ZC}}{{EB}} = \frac{{{m^2}}}{{{k^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{x}{{x + k + m}} = \frac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}}$

Δεν μπορεί να είναι συζυγή αρμονικά γιατί τότε θα ήταν $\displaystyle \frac{k}{m} = \frac{x}{{x + k + m}} = \frac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow k = m$ που είναι άτοπο από την υπόθεση.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος χωρίζει τη βάση , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σε τμήματα και .

Φέρουμε : $DE \perp AB , DZ \perp AC$ . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο . Υπολογίστε

το τμήμα και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία , να είναι συζυγή αρμονικά των .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα σημεία B,C,Z,E

είναι ομοκυκλικά (όπως φυσικά και τα E,A,Z,D

με

εφαπτομενικό τμήμα στον δεύτερο κύκλο. Αρα $SB\cdot SC=SE\cdot SZ=S{{D}^{2}}\Rightarrow x\left( x+k+m \right)={{\left( x+k \right)}^{2}}\Rightarrow \ldots x=\dfrac{{{k}^{2}}}{m-k}$

Για να υπάρχει αρμονικότητα στην δοσμένη τετράδα θα πρέπει οι BZ,CE

να τέμνονται επί του ύψους

(όπως προκύπτει από το αντίστοιχο πλήρες τετράπλευρο) οπότε από το Θεώρημα Ceva θα ίσχυε $\dfrac{AE}{EB}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{ZC}{ZA}=1\Leftrightarrow \dfrac{A{{D}^{2}}}{{{k}^{2}}}\cdot \dfrac{k}{m}\cdot \dfrac{{{m}^{2}}}{A{{D}^{2}}}=1\Leftrightarrow k=m$ πράγμα άτοπο από την υπόθεση

#5

Φέρνω το ύψος

που τέμνει την ευθεία $\overline {SEZ}$ στο σημείο

. Επειδή προφανώς :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}\,\,,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \hfill \\ \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,,\,\,\tau o\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,AEDZ\,\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ θα είναι $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}$

Συνεπώς και το τετράπλευρο MDBC

είναι εγγράψιμο και άρα $MD \bot MB$ .

Αν λοιπόν

το συμμετρικό του

ως προς το

και

η προβολή του στην

Αβίαστα προκύπτουν:

$\left\{ \begin{gathered} CD = DP = k \hfill \\ PB = m - k \hfill \\ ED// = TM = MN \hfill \\ MEDN\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Απουσία αρμονίας.png (30.07 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

Έτσι : τα ζεύγη των τριγώνων : $\left\{ \begin{gathered} (ECD,\,\,NPB) \hfill \\ (ESC,\,\,NDP) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ είναι όμοια οπότε:

$\dfrac{{SC}}{{DP}} = \dfrac{{CD}}{{PB}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{k}{{m - k}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}}$ τα υπόλοιπα ειπώθηκαν .

Απουσία αρμονίας

Απουσία αρμονίας

Re: Απουσία αρμονίας

Re: Απουσία αρμονίας

Re: Απουσία αρμονίας

Re: Απουσία αρμονίας

Μέλη σε σύνδεση