ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Aladdin · #1

Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$ .
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R$ , να βρούμε $\displaystyle g(R) = R$ και μετά με
$\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R$ να γράψουμε $\displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R$ ;;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Aladdin έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$ .
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R$ , να βρούμε $\displaystyle g(R) = R$ και μετά με
$\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R$ να γράψουμε $\displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R$ ;;

Σωστό είναι αλλά θέλει λίγη προσοχή στην δικαιολόγηση.

το

$\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R$
δεν είναι σωστό γενικά.

Για παράδειγμα αν

f(x)=e^x

και
$g(x)=\ln x,x> 0,g(x)=x^{2},x\leq 0$

τότε

$\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R$

ενώ η $g^{ - 1}$ ούτε καν υπάρχει

Aladdin · #3

Είναι σωστό να θέτω $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1$ με $\displaystyle x \in R$ , ενώ δεν ξέρουμε τί τιμές παίρνουν τα $\displaystyle f(x)$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Aladdin έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 11:30 am Είναι σωστό να θέτω $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1$ με $\displaystyle x \in R$ , ενώ δεν ξέρουμε τί τιμές παίρνουν τα $\displaystyle f(x)$ ;

Φυσικά.Οτι θες θέτεις.

Η δικαιολόγηση είναι ότι η $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

είναι 1-1 και $g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
(η απόδειξη τους είναι εύκολη)

οπότε υπάρχει η

$g^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

μετά εύκολα αποδεικνύει ότι $f=g^{-1}$

γιατί $x=g(f(x))=g(g^{-1}(x))$

και η

είναι 1-1

kostasrmd · #5

Aladdin έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$ .
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R$ , να βρούμε $\displaystyle g(R) = R$ και μετά με
$\displaystyle g(f(x)) = x,x \in R \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x),x \in R$ να γράψουμε $\displaystyle f = {g^{ - 1}},\,f(R) = {g^{ - 1}}(R) = Dg = R$ ;;

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μου πείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή:
f(x) + (f(x))^3=x-1

. Προφανως Σ.Τ της x-1

ειναι το

αρα και

ανηκει στο

.
Εστω τωρα οτι η f(x)

εχει μεγιστο τον αριθμο

, δηλαδη

για καθε

. Θα ισχυει (f(x))^3<a^3

και με προσθεση κατα μελη f(x)+((f(x))^3<a^3+a

δηλαδη

για καθε

. Ομως η

γινεται οσοδηποτε μεγαλη στο απειρο και a^3+a

πεπερασμενος αριθμος, αρα ατοπο. Ομοιως και για την περιπτωση ελαχιστου.

Πιστευω πως θα επρεπε να γνωριζουμε την συνεχεια για μια τετοια λυση, σωστα;;

stranger · #6

Βεβαίως και χρειάζεται η συνέχεια της f για να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι η πραγματική ευθεία.Αν έχουμε δεδομένη τη συνέχεια τότε η απόδειξη σου είναι σωστή και δείχνει το ζητούμενο.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

. Άρα $\displaystyle \left |f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq \left | x-y \right |\Rightarrow \left|f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$ .

Από την τελευταία εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι συνεχής.

sokpanvas · #8

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Κυρ Μαρ 17, 2019 3:07 am Η συνέχεια μπορεί να αποδειχθεί.

Για κάθε $x,y \in R$ με $x\neq y$ έχουμε $\displaystyle \left |g(x)-g(y) \right |=(3\xi ^2+1)\left | x-y \right |\geq \left | x-y \right |$ .

Η προηγούμενη ισχύει και για . Άρα $\displaystyle \left |f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right |\geq \left | x-y \right |\Rightarrow \left|f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$ .

Από την τελευταία εύκολα βλέπουμε ότι η είναι συνεχής.

Με τι ισουται το $\xi$ ;

Λάμπρος Κατσάπας · #9

sokpanvas έγραψε: Κυρ Μαρ 17, 2019 8:51 pm Με τι ισουται το $\xi$ ;

Για δοσμένα x,y

με $x\neq y$ από το Θεώρημα Μέσης Τιμής παίρνουμε

$\displaystyle \left | \frac{g(x)-g(y)}{x-y} \right |=\left | {g}'(\xi ) \right |\Rightarrow \left | g(x)-g(y)\right |=(3\xi ^2+1)\left | x-y \right |$

για κάποιο $\xi$ μεταξύ των x,y

. Το $\xi$ , εν γένει όχι μοναδικό, είναι αυτό που ικανοποιεί την

$\displaystyle \frac{g(x)-g(y)}{x-y} =3\xi ^2+1$ όπου $g(x)=x^3+x+1,x \in R.$

stranger · #10

Το $\xi$ προκύπτει απο το ΘΜΤ της g(x)=x^3+x+1

στο διάστημα [x,y]

.
Είναι σωστή η απόδειξή σου. Άρα έχουμε ότι η

είναι συνεχής που σημαίνει ότι το σύνολο τιμών της είναι η πραγματική ευθεία.

#11

Aladdin έγραψε: Πέμ Ιαν 24, 2019 9:50 am Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$ .
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .

Ας το δούμε κι αλλιώς. Θα δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό

υπάρχει $x\in R$ με f(x)=y

, οπότε σύνολο τιμών είναι το

.

Πραγματικά, θεωρούμε το x=y^3+y+1

Από την υπόθεση $\displaystyle { x=f^3}(x) + f(x) + \,1$ , οπότε $f^3}(x) + f(x) + \,1=y^3+y+1$ . Από εδώ παραγοντοποιούμε κ.λπ.:

[f(x)-y][f^2(x)+yf(x)+y^2+1]=0

, και, επειδή η δεύτερη αγκύλη είναι θετική, προκύπτει f(x)=y

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση