Περιγεγραμμένος ρόμβος

#1

: Περιγεγραμμένος ρόμβος.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Να κατασκευάσετε ρόμβο ABCD

με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν, του οποίου οι πλευρές να εφάπτονται στην έλλειψη με εξίσωση
$\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ελάχιστο αυτό εμβαδόν (ο υπολογισμός μπορεί να προηγηθεί της κατασκευής).

#2

Αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το τρίγωνο OBC

Αν η

εφάπτεται στην έλλειψη στο σημείο της (x_0, y_0)

, τότε (απλό):

x_C=a^2/x_0, y_B=b^2/y_0

και

Το

γίνεται ελάχιστο όταν το γινόμενο x_0y_0

γίνει μέγιστο. Τότε γίνεται μέγιστο και το γινόμενο

(x_0/a)^2 (y_0/b)^2

.

Οι όροι του γινομένου αυτού έχουν σταθερό άθροισμα ίσο με 1. Επομένως έχουμε μέγιστο όταν γίνουν ίσοι με 1/2, οπότε βρίσκουμε

$x_0=\dfrac{a}{\sqrt{2}}, y_0=\dfrac{b}{ \sqrt{2}}$

κ.λπ.

ΥΓ. Δεν ξαναγράφω από κινητό!

Περιγεγραμμένος ρόμβος

Περιγεγραμμένος ρόμβος

Re: Περιγεγραμμένος ρόμβος

Μέλη σε σύνδεση