Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

lefsk · #1

Έχουμε $\displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right. }$ Υπολογίστε $f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0)$ .

- Βρήκα $f_{x}$ και για την $f_{xy}(0,0)$ πήρα το όριο:
$\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}$
Για $f_{x}(0,0)$ πήρα επίσης το όριο:
$\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}$
Προέκυψε $f_{x}(0,0) = 0$ και $f_{x}(0,y) = -2y$ , άρα $\displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}$
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην $f_{yx}(0,0)$ και βγήκε $\displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }$

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

lefsk έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2019 10:44 pm
Έχουμε $\displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right. }$ Υπολογίστε $f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0)$ .

- Βρήκα $f_{x}$ και για την $f_{xy}(0,0)$ πήρα το όριο:
$\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}$
Για $f_{x}(0,0)$ πήρα επίσης το όριο:
$\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}$
Προέκυψε $f_{x}(0,0) = 0$ και $f_{x}(0,y) = -2y$ , άρα $\displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}$
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην $f_{yx}(0,0)$ και βγήκε $\displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }$

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Δεν έχω ελέγξει τις πράξεις σου αλλά δεν υπάρχει κάτι που να δείχνει ότι δεν είσαι σωστός.

Γενικά μπορεί να συμβαίνει ότι

$\displaystyle{f_{yx}(0,0) \neq f_{xy}(0,0) }$

lefsk · #3

Άρα η διαδικασία που έχω ακολουθήσει είναι σωστή; Φτάνει μόνο να επαληθεύσω αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις;

stranger · #4

Ναι, η διαδικασία της λύσης σου είναι απόλυτα σωστή.Αν υπάρχει λάθος θα είναι στις πράξεις τις οποίες δεν έκατσα να τις κάνω.

lefsk · #5

Η $f_{yx}(0,0)$ κάνει

και όχι

. Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 26, 2019 11:45 am
Η $f_{yx}(0,0)$ κάνει και όχι . Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!

Εκανα και εγώ τις πράξεις.

Με $f_{yx}(0,0)=1$ και $f_{xy}(0,0)=-2$

όλα είναι εντάξει

stranger · #7

Εδώ αξίζει να πούμε ότι το μόνο σημείο που ενδέχεται $f_{xy} \neq f_{yx}$ είναι το (0,0). Αυτό γιατί η συνάρτηση που είπες είναι $C^{\infty}$ στο $\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ .

Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Μέλη σε σύνδεση