Ακραία μεγιστοποίηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10962
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακραία μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 29, 2019 2:57 pm

Ακραία μεγιστοποίηση.png
Ακραία μεγιστοποίηση.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Η πλευρά AB=c , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Το ύψος AD τέμνει τη διάμεσο BM στο σημείο P ενώ η κάθετη από το A προς την BM ,

τέμνει την υποτείνουσα BC στο σημείο S . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του (PESD) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακραία μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 30, 2019 1:37 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 2:57 pm
Ακραία μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά AB=c , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Το ύψος AD τέμνει τη διάμεσο BM στο σημείο P ενώ η κάθετη από το A προς την BM ,

τέμνει την υποτείνουσα BC στο σημείο S . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του (PESD) .
Στο τρίγωνο BAS το P είναι ορθόκεντρο και άρα η SPείναι ο φορέας του τρίτου ύψους , οπότε αν T η τομή των SP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB θα είναι ST \bot AB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SP = PT.

Αν K το μέσο του AB ο κύκλος διαμέτρου AB διέρχεται από τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.

Ας είναι KN το απόστημα στη χορδή DE. Προφανώς το μέγιστο μήκος DEεπιτυγχάνεται όταν το απόστημα KN γίνει ελάχιστο δηλαδή T \equiv K

Από την άλλη μεριά το μέγιστο μήκος PS = TP προκύπτει όταν η ευθεία TP ταυτιστεί με το μικρό άξονα της έλλειψης που διαγράφει το P, μέσο του ST.
Ακραίο μέγιστο.png
Ακραίο μέγιστο.png (30.4 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές
Το ότι το P μέσο του καθέτου, στην AB, τμήματος ST διαγράφει έλλειψη με μεγάλο άξονα την AB μπορούμε να το δείξουμε με Αναλυτική Γεωμετρία

Εν κατακλείδι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου PESD μεγιστοποιούνται όταν είναι κάθετες μεταξύ τους και μεγιστοποιείται το εμβαδόν (PESD) = \dfrac{1}{2}PS \cdot DE .

Τότε το E είναι βαρύκεντρο του \vartriangle ABC το δε P μέσο του BM.

\left\{ \begin{gathered} 
  PS = \frac{1}{2}MC = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}c\sqrt 2  \hfill \\ 
  DE = \frac{1}{3}c \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{{{(PESD)}_{\max }} = \frac{{{c^2}\sqrt 2 }}{{24}}}

Ακραίο μέγιστο_απάντηση.png
Ακραίο μέγιστο_απάντηση.png (20.61 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ακραία μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Μαρ 30, 2019 6:33 pm

Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των PS,DE.

Δείχθηκε ότι τo PS \rightarrow max όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της AB. Τότε AC=c\sqrt{2} και η DE είναι μεν κάθετη στην PS.. Είναι όμως και μέγιστη ;

Είναι γνωστό (;) ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η \angle MBC\rightarrow max όταν ισχύει ότι AC=c\sqrt{2} κάτι που εδώ ισχύει. Επομένως η χορδή DE γίνεται επίσης μέγιστη (σταθερός κύκλος (K,c/2)) ταυτόχρονα με την PS.

Αρα εκεί έχουμε και το ζητούμενο μέγιστο εμβαδό.


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης