Ακραία μεγιστοποίηση

[KARKAR]

Ακραία μεγιστοποίηση.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Η πλευρά , ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται .

Το ύψος τέμνει τη διάμεσο στο σημείο ενώ η κάθετη από το προς την ,

τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του .

[Doloros]

Ακραία μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά , ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται .

Το ύψος τέμνει τη διάμεσο στο σημείο ενώ η κάθετη από το προς την ,

τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του .

Στο τρίγωνο το είναι ορθόκεντρο και άρα η είναι ο φορέας του τρίτου ύψους , οπότε αν η τομή των θα είναι .

Αν το μέσο του ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται από τα .

Ας είναι το απόστημα στη χορδή . Προφανώς το μέγιστο μήκος επιτυγχάνεται όταν το απόστημα γίνει ελάχιστο δηλαδή

Από την άλλη μεριά το μέγιστο μήκος προκύπτει όταν η ευθεία ταυτιστεί με το μικρό άξονα της έλλειψης που διαγράφει το , μέσο του .

Ακραίο μέγιστο.png (30.4 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

Το ότι το μέσο του καθέτου, στην , τμήματος διαγράφει έλλειψη με μεγάλο άξονα την μπορούμε να το δείξουμε με Αναλυτική Γεωμετρία

Εν κατακλείδι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου μεγιστοποιούνται όταν είναι κάθετες μεταξύ τους και μεγιστοποιείται το εμβαδόν .

Τότε το είναι βαρύκεντρο του το δε μέσο του .

Ακραίο μέγιστο_απάντηση.png (20.61 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

[Altrian]

Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των .

Δείχθηκε ότι τo όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της . Τότε και η είναι μεν κάθετη στην . Είναι όμως και μέγιστη ;

Είναι γνωστό (;) ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η όταν ισχύει ότι κάτι που εδώ ισχύει. Επομένως η χορδή γίνεται επίσης μέγιστη (σταθερός κύκλος ) ταυτόχρονα με την .

Αρα εκεί έχουμε και το ζητούμενο μέγιστο εμβαδό.