Εύρεση παράγουσας

M.S.Vovos · #1

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

$\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}$
Η λύση μου είναι με αλλαγή μεταβλητής που είναι εκτός ύλης.

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 am Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

$\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}$
Η λύση μου είναι με αλλαγή μεταβλητής που είναι εκτός ύλης.

Φιλικά,
Μάριος

Με την αγαπημένη μου τεχνική. ( μία από τις δύο βασικά για υπολογισμό αορίστων )

Ψάχνουμε αυτό το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\int \frac{\cos x}{\cos x- \sin x} \, \mathrm{d}x }$ . Το δηλώνουμε με $\mathcal{I}$ . Θεωρούμε και το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \frac{\sin x}{\cos x- \sin x} \, \mathrm{d}x}$ . Αυτό το καλούμε $\mathcal{J}$ . Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{I} + \mathcal{J} &= \int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \; \mathrm{d}x\\ &= - \ln \left ( \cos x - \sin x \right ) + c \end{aligned}}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{I} - \mathcal{J} &= \int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x - \int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x} \; \mathrm{d}x\\ &= x+c \end{aligned}}$

Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} 2 \mathcal{I} = x - \ln \left ( \cos x - \sin x \right )+c &\Leftrightarrow \mathcal{I} = \frac{x - \ln \left ( \cos x - \sin x \right )}{2} + c \end{aligned}}$

#3

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 am Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

$\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}$

Ο στάνταρ τρόπος για ολοκληρώματα συναρτήσεων της μορφής $\dfrac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}}$ (εδώ a=0,b=1,c=-1,d=1

είναι να βρούμε συντελέστες A.B

έτσι ώστε

$a\sin x + b\cos x = A(c\sin x + d\cos x) + B(c\sin x + d\cos x)' =$
$= A(c\sin x + d\cos x) + B(c\cos x - d\sin x)$ .

Με άλλα λόγια, συγκρίνοντας είναι $a= Ac-Bd, \, b=Ad+Bc$ . Λύνουμε τώρα ως προς A,B

.

Εννοείται, η προς ολοκλήρωση ανάγεται στην ολοκλήρωση της μορφής $A+ \dfrac {B f'(x)}{f(x)}$ . Και λοιπά

M.S.Vovos · #4

Ευχαριστώ και τους δύο πολύ. Προβληματίζομαι στο αν τα παραπάνω μπορούν να ζητηθούν από τους μαθητές της Γ' λυκείου. Μπορεί να είναι μέσα στην ύλη τους αλλά πως κρίνεται την φιλοσοφία μιας τέτοιας ερώτησης για την συγκεκριμένη τάξη;

Tolaso J Kos · #5

M.S.Vovos έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 4:05 pm Προβληματίζομαι στο αν τα παραπάνω μπορούν να ζητηθούν από τους μαθητές της Γ' λυκείου. Μπορεί να είναι μέσα στην ύλη τους αλλά πως κρίνεται την φιλοσοφία μιας τέτοιας ερώτησης για την συγκεκριμένη τάξη;

Ναι μπορούν άνετα! Δεν είναι δα και κάτι δύσκολο! Εξάλλου και το σχολικό έχει παρόμοια άσκηση σελ. 222

, άσκηση

. Αν δε καταλαβαίνουν , κακό του κεφαλιού τους.

#6

Να επισημάνω κάτι τυπικό οι σταθερές c δεν είναι υποχρεωτικά ίδιες

Tolaso J Kos · #7

Ροδόλφε ,

προφανώς και δεν είναι! Νομίζω είναι κατανοητό αυτό άσχετα αν εγώ τις έβαλα όλες

.

Christos.N · #8

Μάριε από ότι θυμάμαι διδάσκεις σε τάξη και είσαι σε ένα φροντιστήριο.

Δώσε στα παιδιά σου την εξίσωση $f'(x)=\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}, x\in (0,\frac{\pi}{4})}$ και ζήτα τους να βρεθεί η

δες τι γίνεται και του χρόνου φτιάχνεις ένα διαγώνισμα που στηρίζεται στην εύρεση αυτής της παράγουσας.

Υ.Γ Το πεδίο ορισμού το έβαλα στην τύχη .

Εύρεση παράγουσας

Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Re: Εύρεση παράγουσας

Μέλη σε σύνδεση