Πεπλεγμένη συνάρτηση!

#1

Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

M.S.Vovos · #2

Όταν βλέπω ανάρτηση του Θάνου λέω κάτι καλό ψήνεται! Για πάμε να δούμε. Ξεκινάω με το πρώτο ερώτημα.

(α) Για x=0

στη δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:

$\displaystyle{\sin f(0)+f^{3}(0)=0}$
Θα αποδείξουμε ότι f(0)=0

και άρα το

είναι ρίζα της

. Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$\displaystyle{g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\mid g(x):=\sin x+ x^{3}}$
Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με $\displaystyle{g'(x)=\cos x+3x^{2}}$ , $\displaystyle{g''(x)=-\sin x+6x}$ και $\displaystyle{g'''(x)=6-\cos x}$ . Επειδή:

$\displaystyle{-1\leq \cos x \leq 1\Leftrightarrow -1\leq -\cos x\leq 1\Leftrightarrow 0<5\leq 6-\cos x\leq 7}$
Έχουμε ότι g'''>0

και επομένως η g''

είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, για κάθε $\displaystyle{x\geq 0\Leftrightarrow g''(x)\geq g''(0)=0}$ και για κάθε $\displaystyle{x\leq 0\Leftrightarrow g''(x)\leq 0}$ . Επομένως, η

είναι αύξουσα στο $\displaystyle{\left [0,+\infty \right )}$ και φθίνουσα στο $\displaystyle{\left (-\infty ,0 \right ]}$ άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

και άρα $\displaystyle{g'(x)\geq g'(0)=1>0}$ .

Επομένως, η

είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1

. Τελικά, $\displaystyle{g\left ( f\left ( 0 \right ) \right )=0=g(0)\Leftrightarrow f(0)=0}$ .

Τώρα, έστω ότι η

έχει και δεύτερη ρίζα

διαφορετική από την μηδενική. Τότε, για x=r

στην συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:

$\displaystyle{\sin r + \sin f(r)=r-f^{3}(r)\Leftrightarrow \sin r=r}$
Όμως, από την γνωστή ανισότητα του σχολικού βιβλίου για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left | \sin x \right |\leq \left | x \right |\Leftrightarrow -\left | x \right |\leq \sin x\leq \left | x \right |}$
Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x\geq 0}$ ισχύει $\displaystyle{\sin x\leq x}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=0

. Επομένως, r=0

. Το οποίο είναι φυσικά άτοπο.

Τελικά, η μόνη ρίζα της

είναι το μηδέν.

Η συνέχεια μετά το φαγητό.

Και αφού φάγαμε και κάτι πάμε για το δεύτερο ερώτημα.

(β) Θέτουμε στην συναρτησιακή όπου

το

και έχουμε:

$\displaystyle{\sin (-x)+\sin f(-x)=-x-f^{3}(-x)\Leftrightarrow -\sin x+\sin f(-x)=-x-f^{3}(-x)}$ σχέση (1)

Προσθέτοντας την δοθείσα συναρτησιακή με την σχέση (1)

έχουμε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ :

$\displaystyle{\sin f(x)+\sin f(-x)=-f^{3}(x)-f^{3}(-x)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin f(x)+f^{3}(x)=-\sin f\left ( -x \right )-f^{3}(x)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin f(x)+f^{3}(x)=\sin \left ( -f(-x) \right )-f^{3}(x)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{g\left ( f(x) \right )=g\left ( -f\left ( -x \right ) \right )}$
Όμως, η συνάρτηση

είναι

από το προηγούμενο ερώτημα, άρα $\displaystyle{f\left ( x \right )=-f\left ( -x \right )}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Επομένως, η

είναι περιττή.

#3

μια άλλη λύση
2.
Έχει αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g(t)=t^3+sint}$ είναι γν αύξουσα άρα 1-1

έστω $\displaystyle{y=f(x),z=f(-x)}$ τότε $\displaystyle{y^3+siny=x-sinx,z^3+sinz=-x+sinx}$ άρα $\displaystyle{g(y)=g(-z)}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)=-f(-x)}$ οπότε $\displaystyle{f}$ περιττή
sinx
3.και 4.
Συνολο τιμων της $\displaystyle{x-sinx}$ το R συνολο τμων της g το R kαι το g(R)=R

Αν $\displaystyle{y_1=y_2\Rightarrow y^3_1+siny_1=y^3_2+siny_2\Rightarrow x_1-x_2=sinx_1-sinx_2}$ που όπως είναι γνωστό ισχύει μόνον όταν $\displaystyle{x_1=x_2}$ άρα $\displaystyle{f}$ 1-1 συνεπώς γν μονότονη
P
ακόμη όταν $\displaystyle{x\to +\infty}$ είναι $\displaystyle{x-sinx \to+\infty}$ αρα $\displaystyle{y^3+siny \to +\infty}$ δηλαδή $\displaystyle{y\to +\infty}$ και λόγω συμμετρίας $\displaystyle{y\to -\infty}$ οταν $\displaystyle{x\to -\infty}$ συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα με σύνολο τιμών το $\displaystyle{R}$
1.
Από το προηγούμενα όρια υπάρχουν $\displaystyle{x_1,x_2:y_1y_2<0}$ και αφού $\displaystyle{f }$ συνεχής έχει ρίζα $\displaystyle{r:r=sinr}$ που είναι γνωστό ότι ισχύει μόνον για $\displaystyle{r=0}$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

matha έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

1. Έστω

μια λύση. Τότε $\displaystyle \sin x_0+\sin f(x_0)=x_{0}-f^3(x_0)\Rightarrow \sin x_0=x_{0}\Rightarrow x_0=0$ .

Αντίστροφα, για x_0=0

, από τη δοσμένη έχουμε $\displaystyle \sin f(x_0)=-f^3(x_0)\Rightarrow f(x_0)=0$

αφού, όπως απέδειξε ο Μάριος παραπάνω, η $\displaystyle x^3+\sin x$ είναι γν.αύξουσα με μοναδική ρίζα την x=0.

2 και 3 Για $\displaystyle h(x)=x-\sin x , g(x)=x^3+\sin x$ έχουμε ότι και οι δύο είναι γν.αύξουσες και περιττές.

Επομένως η

είναι αντιστρέψιμη και από τη δοσμένη $\displaystyle g(f(x))=h(x)\Leftrightarrow f(x)=g^{-1}(h(x)).$

Επειδή η

είναι περιττή θα είναι και η αντίστροφή της $g^{-1}$ περιττή.

Επειδή οι $g^{-1}$ και

είναι περιττές η σύνθεσή τους

θα είναι περιττή.

Το σύνολο τιμών της γν.αύξουσας

είναι διάστημα αφού

συνεχής. Άρα το πεδίο ορισμού της $g^{-1}$

είναι διάστημα και από γνωστή πρόταση $g^{-1}$ γν.αύξουσα.

**Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης το θέλουμε διάστημα για να λειτουργήσει ο σχολικός ορισμός της μονοτονίας.**

Επίσης, η

είναι γν.αύξουσα.

Άρα και η σύνθεσή τους

θα είναι γν.αύξουσα.

4. Υποθέτουμε ότι υπάρχει $a\in R$ ώστε $f(x)\neq a$ για κάθε

.

Τότε για κάθε

ισχύει $\displaystyle g^{-1}(h(x))\neq a\Leftrightarrow h(x)\neq g(a)$ άτοπο αφού h(R)=R.

Άρα

#5

matha έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

Ίσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 01, 2019 10:48 pm

matha έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pm
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{y=f(x)}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{\sin x+\sin y=x-y^3.}$

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

$\displaystyle{\color{red}\bullet}$ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Ίσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.

Νομίζω ότι είναι στάνταρ οι τρόποι αντιμετώπισης για την ύπαρξη της

Η σχέση γράφεται $\displaystyle y^3+\sin y=x-\sin x$ .

Θέτουμε $g(x)=x^3+\sin x,h(x)=x-\sin x$

1 τρόπος.
Αρκεί να δείξουμε ότι για $t\in \mathbb{R}$
η εξίσωση $\displaystyle y^3+\sin y=t$ εχει ακριβώς μια λύση.
Δηλαδή η $\displaystyle g( y)=t$ εχει ακριβώς μια λύση.
Προκύπτει εύκολα κάνοντας την μελέτη της

.

2 τρόπος
Αφού κάνουμε την μελέτη της

δείχνουμε ότι $\displaystyle f=g^{-1}\circ h$

Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!

Μέλη σε σύνδεση