Έπεσα πάνω στον Euler

KARKAR · #1

Α) Δείξτε ότι : $\dfrac{5^5}{4^4}<4,5e$ ( το

είναι φυσικά ο αριθμός Euler )

Β) Δείξτε ότι για κάθε x>0

, ισχύει : $\dfrac{(x+1)^{x+1}}{x^x}<(x+\dfrac{1}{2})e$

KARKAR · #2

Το δεκαπενθήμερο της "χαλάρωσης" ολοκληρώθηκε .

KARKAR · #3

Επανέρχομαι με μία μάλλον ασθενή υπόδειξη : Εφαρμόστε την ανισότητα Hermite - Hadamard

- έχει συζητηθεί τελευταία στο mathematica

- για κατάλληλη συνάρτηση , σε κατάλληλο διάστημα .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 02, 2019 1:20 pm
Α) Δείξτε ότι : $\dfrac{5^5}{4^4}<4,5e$ ( το είναι φυσικά ο αριθμός Euler )

Β) Δείξτε ότι για κάθε , ισχύει : $\dfrac{(x+1)^{x+1}}{x^x}<(x+\dfrac{1}{2})e$

Απλό και φυσιολογικό είναι Θανάση.
Κάνω το Β)
Λογαριθμίζοντας αρκεί να δείξουμε ότι

$f(x)=1+\ln (x+\frac{1}{2})+x\ln x-(x+1)\ln (x+1)> 0,x>0$

Είναι

$f'(x)=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}+\ln x-\ln(x+1)$

και

$f''(x)=-\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}}>0$

Η

είναι αύξουσα
.
Επειδή εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι

$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=0$

συμπαιρένουμε ότι f'(x)<0,x>0

Αρα η

είναι φθίνουσα.

Γράφωντας κατάλληλα την

$f(x)=1+\ln \frac{x+\frac{1}{2}}{x+1}+x\ln \frac{x}{x+1}$

εύκολα βρίσκουμε ότι

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

Αρα f(x)>0,x>0

KARKAR · #5

Ας δούμε πως κτίστηκε η άσκηση : Για τις κοίλες συναρτήσεις ισχύει :

$\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx)<f(\dfrac{a+b}{2})$ . Εν προκειμένω για την : f(x)=lnx

και το διάστημα : [k,k+1] , k>0

, παίρνουμε : $\displaystyle\int_{k}^{k+1}lnxdx<ln(k+\dfrac{1}{2})$ ,

δηλαδή : $(k+1)ln(k+1)-klnk-1<ln(k+\dfrac{1}{2})$ ,

τουτέστιν : $ln\dfrac{(k+1)^{k+1}}{k^k}<lne+ln(k+\dfrac{1}{2})$ , που είναι η ζητουμένη !

Έπεσα πάνω στον Euler

Έπεσα πάνω στον Euler

Re: Έπεσα πάνω στον Euler

Re: Έπεσα πάνω στον Euler

Re: Έπεσα πάνω στον Euler

Re: Έπεσα πάνω στον Euler

Μέλη σε σύνδεση