ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- SL2005-G6

[Μπάμπης Στεργίου]

Το θέμα του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα.

Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο :



https://artofproblemsolving.com/communi ... 872p463068

Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσιμα Λήμματα.



Στο σχήμα έχουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου , τη διάμεσο ΑΜ και τις παράλληλες από τα προς την

που ορίζουν με τον κύκλο τα σημεία .Το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι .

α) Αν η τέμνει την παράλληλη από το προς την στο , τότε η τετράδα είναι αρμονική, όπως και η τετράδα .

β) Οι ευθείες συντρέχουν.

γ) H ευθεία περνάει από το .

Η σειρά κάποιων ερωτημάτων μπορεί να αλλάξει, αλλά η ουσία παραμένει.

δ) Να αποδειχθεί με οποιονδήποτε τρόπο το ζητούμενο του αρχικού θέματος G6 της SL.

*** Στο 4ο μήνυμα και στην απόδειξη του λήμματος από τον Nicula υπάρχει ένα εξαίρετο Λήμμα, γνωστό ως ''Θεώρημα Τέμνουσας '', το οποίο δίνει σύντομες λύσεις σε πολλά θέματα με σεβιανές και άλλες τέμνουσες τριγώνου.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Το θέμα του 2005 δίνει αφορμή για ωραία συμπεράσματα και περιέχει εξαιρετικά λήμματα.

Η σχετική συζήτηση έχει γίνει σε πολλά σημεία, κυρίως όμως στο :



https://artofproblemsolving.com/communi ... 872p463068

Από εκεί δανείζομαι ένα σχήμα και βάζω ως ερώτημα κάποια συμπεράσματα που είναι χρήσιμα Λήμματα.



Στο σχήμα έχουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου , τη διάμεσο ΑΜ και τις παράλληλες από τα προς την

που ορίζουν με τον κύκλο τα σημεία .Το ζητούμενο είναι να αποδειχθεί ότι .

α) Αν η τέμνει την παράλληλη από το προς την στο , τότε η τετράδα είναι αρμονική, όπως και η τετράδα .

β) Οι ευθείες συντρέχουν.

γ) H ευθεία περνάει από το .

Η σειρά κάποιων ερωτημάτων μπορεί να αλλάξει, αλλά η ουσία παραμένει.

δ) Να αποδειχθεί με οποιονδήποτε τρόπο το ζητούμενο του αρχικού θέματος G6 της SL.

*** Στο 4ο μήνυμα και στην απόδειξη του λήμματος από τον Nicula υπάρχει ένα εξαίρετο Λήμμα, γνωστό ως ''Θεώρημα Τέμνουσας '', το οποίο δίνει σύντομες λύσεις σε πολλά θέματα με σεβιανές και άλλες τέμνουσες τριγώνου.

Μπάμπη,

Πράγματι το θέμα έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και συζητήθηκε πρόσφατα και εδώ

[silouan]

Μία άλλη λύση βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.

[Μπάμπης Στεργίου]

Γεια σας !

Μεγάλη τηλεπάθεια αυτές τις μέρες !

Και να σκεφτείτε ότι την άσκηση την ξαναείδα προχθές στο ιταλικό forum για ολυμπιάδες.Με παραξένεψε όμως μια αρμονικότητα που την θεώρησαν αυτονόητη : την , όπου το σημείο τομής της με την .

Προφανώς θεώρησαν γνωστό το λήμμα, κάτι που εγώ είχα ξεχάσει.

Να είστε όλοι καλά !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ