σημείο συμπύκνωσης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64234

Αν $A\subseteq \mathbb{R}$
και $x\in A$ .
Το

λέγεται σημείο συμπύκνωσης του

αν για κάθε $\epsilon > 0$
το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο.

Να δειχθεί ότι :
Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο
τότε το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης
είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Βοηθάει το εξής:
το παραπάνω ισχύει σε οποιονδήποτε $2^{0}$ αριθμήσιμο μετρικό χώρο.
(δηλαδή έχει αριθμήσιμη βάση περιοχών)

mikemoke · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Απρ 11, 2019 1:04 am Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64234

Αν $A\subseteq \mathbb{R}$
και $x\in A$ .
Το λέγεται σημείο συμπύκνωσης του αν για κάθε $\epsilon > 0$
το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο.

Να δειχθεί ότι :
Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο
τότε το σύνολο των σημείων του που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης
είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Βοηθάει το εξής:
το παραπάνω ισχύει σε οποιονδήποτε $2^{0}$ αριθμήσιμο μετρικό χώρο.
(δηλαδή έχει αριθμήσιμη βάση περιοχών)

Καλούμε

τα $x\in A$ τέτοια ώστε

να μην είναι σημείο συμπύκνωσης.
Τότε $\forall x\in N(A) \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})\cap A$ αριθμήσιμο.
Από αυτό έχουμε ένα ανοιχτό κάλυμμα $U=\{A_i:i\in I\}$ του N(A)

, όπου

και $A_i=A_x:= (x-\epsilon_x,x+\epsilon_x)$ .
Από Θεώρημα Κάλυψης του Lindelof βρίσκουμε αριθμήσιμο υποκάλυμμα $\{S_i: i\in M\subseteq \mathbb{N}\}$ του N(A)

και
$\forall j\in Μ \exists i\in I : S_i=A_j \Rightarrow \forall i\in M: S_i\cap A$ αριθμήσιμο.
Άρα $|N(A)|\leq _c \left |\bigcup_{i\in M} S_i \cap A \right | \leq _c \aleph_0$

https://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα δώσω μια απόδειξη για μετρικό χώρο

που είναι $2^{0}$ αριθμήσιμος.

Δηλαδή υπάρχει $(B_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
βάση περιοχών.

Εστω $A\subseteq X$ υπεραριθμήσιμο.

Εδώ το $x\in A$ είναι σημείο συμπύκνωσης αν
για κάθε ανοικτό

με $x\in U$
το $U\cap A$
είναι υπεραριθμήσιμο.

Εστω

το σύνολο των σημείων του

που δεν είναι σημεία συμπύκνωσης.

Για $x\in B$ υπάρχει ανοικτό

με

$U\cap A$ το πολύ αριθμήσιμο.
(εδω χρησιμοποιούμε την υπόθεση του συνεχούς).

Επειδή $U=\cup _{k\in S}B_{k}$

όπου $S\subseteq \mathbb{N}$

υπάρχει $n(x)\in \mathbb{N}$

με $B_{n(x)}\cap A$ το πολύ αριθμήσιμο

και $x\in B_{n(x)}\cap A$

Αν θέσουμε $T=\left \{ n(x):x\in B \right \}$

τότε
$B\subseteq \cup _{x\in B}(B_{n(x)}\cap A)=\cup _{k\in T}(B_{k}\cap A)$

που δείχνει ότι το

είναι αριθμήσιμο σαν υποσύνολο αριθμησίμου.

Επειδή στην προηγούμενη απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε την μετρική,

αυτούσια η απόδειξη περνάει και σε Τοπολογικούς χώρους.

σημείο συμπύκνωσης

σημείο συμπύκνωσης

Re: σημείο συμπύκνωσης

Re: σημείο συμπύκνωσης

Μέλη σε σύνδεση