Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Υπολογίστε το όριο (αν υπάρχει)
Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
.
Μετά διαίρεσαν αριθμητή παρονομαστή με και βρήκαν μεμονωμένα τα όρια
Για αυτό πήραν , πολλαπλασίασαν αριθμητή παρονομαστή με και έδειξαν ότι . Έπειτα πήραν ότι . Άρα
και
και από αυτά τα 3 όρια προκύπτει, άμα τα αθροίσουμε, ότι το αρχικό όριο κάνει .
Εγώ πιστεύω πως δεν είναι σωστή λύση. Ποια είναι η γνώμη σας; Αν υπάρχουν λάθη, μπορείτε να μου δείξετε που; Η διαδικασία που ακολούθησε δεν πιστεύω πως ανταποκρίνεται στις ιδιότητες των ορίων.
Στην προσπάθειά μου να την λύσω έκανα το εξής:
Καθώς και δοκίμασα το μονοπάτι .
Το όριο εξαρτιόταν από το .
Ευχαριστώ!
Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
.
Μετά διαίρεσαν αριθμητή παρονομαστή με και βρήκαν μεμονωμένα τα όρια
Για αυτό πήραν , πολλαπλασίασαν αριθμητή παρονομαστή με και έδειξαν ότι . Έπειτα πήραν ότι . Άρα
και
και από αυτά τα 3 όρια προκύπτει, άμα τα αθροίσουμε, ότι το αρχικό όριο κάνει .
Εγώ πιστεύω πως δεν είναι σωστή λύση. Ποια είναι η γνώμη σας; Αν υπάρχουν λάθη, μπορείτε να μου δείξετε που; Η διαδικασία που ακολούθησε δεν πιστεύω πως ανταποκρίνεται στις ιδιότητες των ορίων.
Στην προσπάθειά μου να την λύσω έκανα το εξής:
Καθώς και δοκίμασα το μονοπάτι .
Το όριο εξαρτιόταν από το .
Ευχαριστώ!
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Έχεις απόλυτο δίκαιο ότι η λύση δεν είναι σωστή.
Με τον μετασχηματισμό προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορεί να μην υπάρχει.
Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα είναι το όριο:
Σε κάθε ευθεία το όριο ισούται με αλλά στην παραβολή το όριο ισούται με .
Με τον μετασχηματισμό προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορεί να μην υπάρχει.
Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα είναι το όριο:
Σε κάθε ευθεία το όριο ισούται με αλλά στην παραβολή το όριο ισούται με .
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;
Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το είναι λύση;
Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το είναι λύση;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός;lefsk έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pmΔηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;
Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το είναι λύση;
Δεν μπορείς να πεις τίποτα ως προς την ύπαρξη του ορίου. Μπορεί να υπάρχει μπορεί και όχι. Αν υπάρχει τότε είναι αυτός ο αριθμός
Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το είναι λύση;
Όχι η επίλυση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί το όριο δεν υπάρχει.
Για να δούμε ότι δεν υπάρχει ο απλούστερος τρόπος είναι:
Να πάρουμε το όριο πάνω στην και μετά στην
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω με πολικές θα γίνει , αφού και φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Αν π.χ. έχω με πολικές θα γίνει , αφού και φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.lefsk έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pmΔηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω με πολικές θα γίνει , αφού και φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Έχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδήΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pmΒγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.lefsk έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pmΔηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω με πολικές θα γίνει , αφού και φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
kharga έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 amΈχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδήΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pmΒγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.lefsk έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pmΔηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω με πολικές θα γίνει , αφού και φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."
Υπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
δεν έχει νόημα για
Αν όμως γραφεί
τότε έχουμε το όριο.
Θα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.
Εστω
και υπάρχει
συνάρτηση ώστε για κάθε ,
είναι
Αν
τότε
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Όταν λέμε όριο συνάρτησης για ζητάμε ένα και μελετάμε για δηλαδή . Αυτό είναι στάνταρ για όλα τα όρια όλων των απειροστικών, μην το συζητήσουμε.- αυτό είναι λάθος, έπρεπε πράγματι να γράψωΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pmΥπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
δεν έχει νόημα για
Αυτό είναι σωστό, παρότι δεν μας εξήγησες τι ισχύει για το ή αν η πρέπει να είναι ανεξάρτητη του . Ένα reference σε κάποια πηγή θα ήταν χρήσιμο...ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pmΘα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.
Εστω
και υπάρχει
συνάρτηση ώστε για κάθε ,
είναι
Αν
τότε
Τέλος δεν ήταν καθόλου σαφές ότι εννοούσες αυτό όταν έγραφες:
"Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."
τελευταία επεξεργασία από kharga σε Τρί Ιούλ 21, 2020 11:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω από το
Η είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι , αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή του πεδίου ορισμού της.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
Ναι, σωστά, είχε δίκιο ο Σταύρος Παπαδόπουλος ως προς αυτό, το έκανα edit και στο αρχικό
Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών
όχι, αυτό ήθελα να πω. Μπορώ πχ να πάρω , βλέποντας το σαν σταθερά; Η απάντηση είναι οχι αλλά αυτό πρέπει να διευκρινιστεί.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 amΜάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω από το
Νομίζω είναι γνωστό ότι όταν γράφουμε κάπου, όλοι περιμένουμε ότι έχει ειπωθεί κάπου πιο πριν το "έστω ". Αν ήθελε να γράψει τυχαίο διάστημα το βιβλίο από το οποίο έγινε το copy-paste θα έγραφε . Ακόμα περιμένω αυτό το reference...Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 amΗ είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι , αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή του πεδίου ορισμού της.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 10 επισκέπτες