Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

#1

Έστω $\displaystyle P(x)$ ένα πολυώνυμο με $\displaystyle P(1) = 1$ και
$\displaystyle \frac{{P(2x)}}{{P(x + 1)}} = 8 - \frac{{56}}{{x + 7}}$
για κάθε $\displaystyle x$ για το οποίο έχει νόημα η ισότητα.
Να βρείτε το $\displaystyle P( - 1)$ .

#2

Η σχέση γράφεται

$\displaystyle{(x+7)P(2x)=8xP(x+1)}$

και επειδή ισχύει για άπειρες τιμές του $\displaystyle{x}$ , ισχύει για κάθε $\displaystyle{x.}$

Θέτοντας $\displaystyle{x=0,x=-7, x=-1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0.}$

Άρα $\displaystyle{P(x)=x(x+2)(x+6)Q(x).}$

Τότε η σχέση γράφεται

$\displaystyle{Q(2x)\equiv Q(x+1).}$

Από εδώ προκύπτει ότι το $\displaystyle{Q}$ είναι σταθερό, αφού διαφορετικά είναι $\displaystyle{Q(x)=a_n x^n+\cdots }$ και λαμβάνουμε

$\displaystyle{a_n 2^n x^n +\cdots \equiv a_n x^n +\cdots ,}$ άτοπο.

Άρα $\displaystyle{Q(x)\equiv c,}$ οπότε $\displaystyle{P(x)=cx(x+2)(x+6).}$

Από την συνθήκη $\displaystyle{P(1)=1}$ βρίσκουμε $\displaystyle{c=\frac{1}{21},}$ οπότε $\displaystyle{P(-1)=-\frac{5}{21}.}$

#3

Λόγω της δοσμένης σχέσης πρέπει είναι $(x+7)P(2x)=8xP(x+1) \ \ (1)$ απ' όπου το P(x)

δεν είναι σταθερό πολυώνυμο κι έτσι αν θέσουμε $P(x)=a_nχ^n+\cdots+a_0, \ a_n\neq 0$ τότε εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των 2 μελών της (1)

, παίρνουμε n=3

.

Αν λοιπόν P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το πολυώνυμο βρίσκοντας με τη βοήθεια του P(1)

, ακόμη 3 σχέσεις από την αρχική.

Συγκεκριμένα για x=0

παίρνουμε

, για $x=\dfrac{1}{2}$ παίρνουμε $P\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{15}{8}$ και τέλος για $x=\dfrac{3}{4}$ παίρνουμε $P\left(\dfrac{7}{4}\right)=\dfrac{155}{64}$ . Από το σύστημα που προκύπτει βρίσκουμε $a=\dfrac{1}{21}, \ b=\dfrac{8}{21}, \ c=\dfrac{4}{7}$ κι έτσι $P(x)=\dfrac{1}{21}x^3+\dfrac{8}{21}x^2+\dfrac{4}{7}x$ απ' όπου $P(-1)=-\dfrac{5}{21}$ .

Αλέξανδρος

#4

Κλέβοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες λύσεις, ας δούμε και μία λύση ενδιάμεση των δύο. Ξανατονίζω, δεν λέω απολύτως τίποτα νέο:

Είναι (x+7)P(2x)=8xP(x+1)

οπότε (όπως ο Αλέξανδρος) εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των δύο μελών βρίσκουμε ότι το

είναι βαθμού

.

Θέτοντας (όπως ο Θάνος) $\displaystyle{x=0,x=-7, x=-1}$ παίρνουμε $\displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0}$ που σημαίνει P(x)=cx(x+2)(x+6)

για κάποια σταθερά

. Από την συνθήκη P(1)=1

έπεται $c=\dfrac {1}{21}$ ή αλλιώς $\boxed {P(x)=\frac {1}{21}x(x+2)(x+6)}$ από όπου $P(-1)=-\dfrac{5}{21}$ .

Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση