Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

KARKAR · #1

: Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές

Οι πλευρές AB,AC

, ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν σταθερό άθροισμα AB+AC=a

.

Ενδιαφερόμαστε για την γωνία $\theta$ , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα

με τη διάμεσο

.

α) Για ποια θέση του

είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ , όταν η $\theta$ γίνεται μέγιστη .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 24, 2019 9:16 am
Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.pngΟι πλευρές , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν σταθερό άθροισμα .

Ενδιαφερόμαστε για την γωνία $\theta$ , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα με τη διάμεσο .

α) Για ποια θέση του είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ... β) Υπολογίστε το $\sin\theta$ , όταν η $\theta$ γίνεται μέγιστη .

$\displaystyle \tan \theta = \tan (B - \omega ) = \dfrac{{\dfrac{{a - x}}{x} - \dfrac{{a - x}}{{2x}}}}{{1 + \dfrac{{{{(a - x)}^2}}}{{2{x^2}}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{ax - {x^2}}}{{3{x^2} - 2ax + {a^2}}}}$ (1)

: Γωνία υποτείνουσας-διαμέσου.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

α) $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{3}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 6{x^2} - 5ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{a}{2}}$ ή $\boxed{x=\frac{a}{3}}$

β) Η γωνία $\theta$ μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται και η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \tan \theta = \frac{{ax - {x^2}}}{{3{x^2} - 2ax + {a^2}}}$

Αυτό συμβαίνει για $\displaystyle x = a(\sqrt 2 - 1)$ και τότε είναι $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$ Αλλά, $\displaystyle {\sin ^2}\theta = \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \sin \theta = \frac{1}{3}}$

Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Re: Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση