Ολοκληρώματα

Aleksis2001 · #1

Καλησπέρα

είμαι νέος στο φόρουμ και ζητάω την βοήθεια σας .
Θα ήθελα μια επιβεβαίωση στα παρακάτω ολοκληρώματα.στην επανάληψη μου λύνω απο ένα άλλο βοηθητικό κ' έχω βρει αλλά αποτελέσματα σε σχέση με αυτά που δείχνει πίσω στις λύσεις .
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{^{\frac{\pi}{3}}}\frac{x}{sin^2xcos^2x}$
Το οποίο έβγαλα ως αποτέλεσμα :
$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}+ ln(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi} {2}}\frac{1}{sinx}$
Το οποίο το έβαλα , $\frac{1}{2}ln(\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cosx}$
Όπου βγάζω το ίδιο αποτέλεσμα με το προηγούμενο ολοκλήρωμα
Και στα 3 βγάζω διαφορετικό αποτέλεσμα από το βοηθητικό
Θα ήθελα επίσης να μου λύσει και ποιος και μου την γράψει όσο πιο καλά και κατανοητά μπορεί είναι από το ίδιο βοηθητικό και δεν καταλαβαίνω ούτε την λύση που δίνει πίσω , είναι στην ασκησιολογια του θμτ .Θέτει γ= α+β/2 και δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν αυτά που γράφει

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x,y\in (a,b), a>0$ . τέτοια ώστε
$(\frac{a+b}{2})^{x+y}= a^{x}b^{y}$

Καταλάβαινω ότι το mathematica δεν είναι λυσάρι απλός πλησιάζει ο καιρός για τις εξετάσεις και θα ήθελα να ξεμπερδευω με κάποια πράγματα
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποιον βρει χρόνο να με βοηθήσει

#2

Καλωσόρισες στο

Τα ολοκληρώματα είναι όλα σωστά. Έλεγξες μήπως οι απαντήσεις είναι ίδιες αλλά διαφορετικά γραμμένες;
Μπορείς να δώσεις τις απαντήσεις;

#3

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2019 11:02 am
.. $\int_{\frac{\pi}{4}}^{^{\frac{\pi}{3}}}\frac{x}{sin^2xcos^2x}$
Το οποίο έβγαλα ως αποτέλεσμα :
$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}+ ln(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi} {2}}\frac{1}{sinx}$
Το οποίο το έβαλα , $\frac{1}{2}ln(\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})$ ...

Για τα δυο πρώτα: Οι δυο υπολογισμοί είναι σωστοί:

$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{x}{\sin^2{x}\cos^2{x}}\,dx=\frac{2\pi\,\sqrt{3}}{9}-\frac{1}{2}\log\big(\tfrac{4}{3}\big)\,.$

$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin{x}}\,dx=-\log\big(\tan\tfrac{\pi}{8}\big)\,.$ Με $\tan\tfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$ .

Παρατήρηση: Πολλές φορές τα αποτελέσματα σε μια ολοκλήρωση "φαίνεται" να διαφέρουν, αλλά είναι ίσα. Επομένως καλό θα ήταν να έδινες και τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο βοήθημα.

#4

Για παράδειγμα στο 2 και 3 ολοκλήρωμα μπορεί να δίνει απάντηση $\displaystyle \ln (\sqrt 2 + 1).$ Είναι το ίδιο.

Βαγγέλης Κωστούλας · #5

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2019 11:02 am
Καλησπέρα είμαι νέος στο φόρουμ και ζητάω την βοήθεια σας .
Θα ήθελα μια επιβεβαίωση στα παρακάτω ολοκληρώματα.στην επανάληψη μου λύνω απο ένα άλλο βοηθητικό κ' έχω βρει αλλά αποτελέσματα σε σχέση με αυτά που δείχνει πίσω στις λύσεις .
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{^{\frac{\pi}{3}}}\frac{x}{sin^2xcos^2x}$
Το οποίο έβγαλα ως αποτέλεσμα :
$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}+ ln(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi} {2}}\frac{1}{sinx}$
Το οποίο το έβαλα , $\frac{1}{2}ln(\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}})$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cosx}$
Όπου βγάζω το ίδιο αποτέλεσμα με το προηγούμενο ολοκλήρωμα
Και στα 3 βγάζω διαφορετικό αποτέλεσμα από το βοηθητικό
Θα ήθελα επίσης να μου λύσει και ποιος και μου την γράψει όσο πιο καλά και κατανοητά μπορεί είναι από το ίδιο βοηθητικό και δεν καταλαβαίνω ούτε την λύση που δίνει πίσω , είναι στην ασκησιολογια του θμτ .Θέτει γ= α+β/2 και δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν αυτά που γράφει

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x,y\in (a,b), a>0$ . τέτοια ώστε
$(\frac{a+b}{2})^{x+y}= a^{x}b^{y}$

Καταλάβαινω ότι το mathematica δεν είναι λυσάρι απλός πλησιάζει ο καιρός για τις εξετάσεις και θα ήθελα να ξεμπερδευω με κάποια πράγματα
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποιον βρει χρόνο να με βοηθήσει

Καλημέρα Αλέξη,
Έριξα μια ματιά στα ολοκληρώματα και βρήκα τα ίδια αποτελέσματα με τα δικά σου.

Aleksis2001 · #6

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα 2 τελευταία δίνει τα αποτελέσματα που είπατε , για το πρώτο δίνει
$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}+ ln(\sqrt{3})$

#7

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2019 12:39 pm
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα 2 τελευταία δίνει τα αποτελέσματα που είπατε , για το πρώτο δίνει
$\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}+ ln(\sqrt{3})$

Στο πρώτο πρέπει να έγινε τυπογραφικό λάθος. Μπορείς να γράψεις τη λύση που δίνει το βοήθημα για την άλλη άσκηση με το ΘΜΤ;

#8

αρκεί για κάποια $\displaystyle{x,y\in (a,b)}$ να είναι $\displaystyle{ln(\frac{a+b}{2})=\frac{x}{x+y}lna+\frac{y}{x+y}lnb}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$

θετω $\displaystyle{m=x\x+y}$ τότε $\displaystyle{y/x+y=1-m}$ με $\displaystyle{0\le m \le 1}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$

θετω $\displaystyle{f(m)=mlna+(1-m)lnb-ln(\frac{a+b}{2}}$ τότε $\displaystyle{f(0)=lnb-ln(a+b/2)>0,f(1)=lna-ln(a+b/2)<0}$

από ΘΒ η $\displaystyle{f}$ εχει ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$ συνεπώς ισχύει το ζητούμενο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2019 3:18 pm
αρκεί για κάποια $\displaystyle{x,y\in (a,b)}$ να είναι $\displaystyle{ln(\frac{a+b}{2})=\frac{x}{x+y}lna+\frac{y}{x+y}lnb}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$

θετω $\displaystyle{m=x/x+y}$ τότε $\displaystyle{y/x+y=1-m}$ με $\displaystyle{0\le m \le 1}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$

θετω $\displaystyle{f(m)=mlna+(1-m)lnb-ln(\frac{a+b}{2}})$ τότε $\displaystyle{f(0)=lnb-ln(a+b/2)>0,f(1)=lna-ln(a+b/2)<0}$

από ΘΒ η $\displaystyle{f}$ εχει ρίζα στο $\displaystyle{(0,1)}$ συνεπώς ισχύει το ζητούμενο

Να σημειώσω ότι διόρθωσα κάποιες αβλεψίες στο tex του κειμένου του Ροδόλφου.

Η λύση έχει πρόβλημα.

Πρέπει να αποδειχθεί ότι για το

που παίρνουμε από τον Bolzano

υπάρχουν $\displaystyle{x,y\in (a,b)}$

ώστε $\displaystyle{m=x/x+y}$

συμπλήρωμα.

Δεν ξέρω αν βοηθάει αλλά το

μπορούμε να το πάρουμε λύνοντας.

Είναι

$m=\dfrac{\ln b-\ln \frac{a+b}{2}}{\ln b-\ln a}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2019 11:02 am

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x,y\in (a,b), a>0$ . τέτοια ώστε

$(\frac{a+b}{2})^{x+y}= a^{x}b^{y}$

Λογαριθμίζοντας αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν $x,y\in (a,b)$ τέτοια ώστε

$(x+y)\ln\frac{a+b}{2}=x\ln a+y\ln b$
η ισοδύναμα

$x(\ln\frac{a+b}{2}-\ln a)=y(\ln b-\ln\frac{a+b}{2})$

Αλλά από ΘΜΤ είναι

$(\ln\frac{a+b}{2}-\ln a)=\frac{b-a}{2}\frac{1}{c} , (\ln b-\ln\frac{a+b}{2})=\frac{b-a}{2}\frac{1}{d}$

όπου $0<a<c<\frac{a+b}{2}<d<b$

Αρκεί να πάρουμε x=c,y=d

Aleksis2001 · #11

Στο βοηθημα δινει την παρακατω λυση
Εστω $\gamma =\frac{\alpha+\beta }{2}$ οποτε $\gamma -\alpha =\beta -\gamma$ (1)

$(\frac{\alpha +\beta }{2})^{x+y}=\alpha ^{x}\beta^{y}\Leftrightarrow \gamma ^{x+y}=\alpha ^{x}+\beta ^{y}\Leftrightarrow (x+y)ln\gamma = xln\alpha +yln\beta \Leftrightarrow x(ln\gamma -ln\alpha )=y(ln\beta-ln\gamma )$ (2)

μετα θεωρει f(x)=lnx

και εφαρμοζει 2 θμτ ενα στο $[\alpha ,\gamma ]$ κ στο $[\gamma,\beta]$
$f'(x)=\frac{ln\gamma -ln\\alpha }{\gamma -\alpha } \Leftrightarrow x(ln\gamma -ln\alpha )=\gamma -\alpha (3)$
$f'(y)=\frac{ln\beta -ln\gamma }{\beta -\gamma }\Leftrightarrow y(ln\beta -ln\gamma )=\beta -\gamma (4)$
αντικαθιστωντας στην (1) τις (3),(4) προκυπτει η (2)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 11:46 am
Στο βοηθημα δινει την παρακατω λυση
Εστω $\gamma =\frac{\alpha+\beta }{2}$ οποτε $\gamma -\alpha =\beta -\gamma$

$(\frac{\alpha +\beta }{2})^{x+y}=\alpha ^{x}\beta^{y}\Leftrightarrow \gamma ^{x+y}=\alpha ^{x}+\beta ^{y}\Leftrightarrow (x+y)ln\gamma = xln\alpha +yln\beta \Leftrightarrow x(ln\gamma -ln\alpha )=y(ln\beta-ln\gamma )$

μετα θεωρει
και εφαρμοζει 2 θμτ ενα στο $[\alpha ,\gamma ]$ κ στο $[\gamma,\beta]$
$f'(x)=\frac{ln\gamma -ln\\alpha }{\gamma -\alpha } \Leftrightarrow x(ln\gamma -ln\alpha )=\gamma -\alpha (3)$
$f'(y)=\frac{ln\beta -ln\gamma }{\beta -\gamma }\Leftrightarrow y(ln\beta -ln\gamma )=\beta -\gamma (4)$
αντικαθιστωντας στην (1) τις (3),(4) προκυπτει η (2)

Η λύση είναι ακριβώς η ίδια με την δική μου παραπάνω.Λίγο πιο αναλυτική.
Αν έχεις πρόβλημα στην κατανόηση της γράψε μας να το λύσουμε.

Aleksis2001 · #13

Δεν καταλαβαίνω πως προκύπτει η πρώτη ισοδυναμία στην λύση που ανέβασα

#14

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 1:17 pm
Δεν καταλαβαίνω πως προκύπτει η πρώτη ισοδυναμία στην λύση που ανέβασα

Προφανές τυπογραφικό σφάλμα.

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 11:46 am

$(\frac{\alpha +\beta }{2})^{x+y}=\alpha ^{x}\beta^{y}\Leftrightarrow \gamma ^{x+y}=\alpha ^{x}+\beta ^{y}$

Το τελευταίο "συν" πρέπει να γίνει "επί".

Σου ξέφυγε αυτό αφού η λύση του Σταύρου Παπαδόπουλου, στην πρώτη κιόλας γραμμή, έχει την σωστή εκδοχή
αυτού που ρωτάς.

Aleksis2001 · #15

Α οκ ευχαριστώ πολύ, γενικά είχα κατανοήσει την λύση του κυρίου Σταύρου πιο πάνω και ήταν ίδια με αυτή του βοηθήματος αλλά στο βοήθημα αυτό το + με προβληματίζε και δεν καταλάβαινα από που προκύπτει αυτό

Ολοκληρώματα

Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Re: Ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση