Ίσα γινόμενα

#1

: Ίσα γινόμενα..png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

είναι

το ύψος,

το ορθόκεντρο και

το περίκεντρο.

Αν η

διχοτομεί τη γωνία $D\widehat HC,$ να δείξετε ότι $\displaystyle BD \cdot AC = AD \cdot OC.$

#2

Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο HPC

. Φέρνω το ύψος του

κι έστω ένα σημείο

στη διχοτόμο της $\widehat {PHC}$ . Γράφω το κύκλο (O,OC)

που ταυτόχρονα:

α) Διέρχεται από το

β) Τέμνει την προέκταση της

στο

και

γ) Τέμνει την προέκταση της

στο

.

: Ισα γινόμενα Βισβίκης.png (52.69 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές

Αφού το συμμετρικό,

, του

ως προς την

ανήκει στον κύκλο το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}$ το τετράπλευρο AHOC

είναι εγγραψιμο και επομένως :

$\widehat {COB} = 2\widehat {CPA} = 120^\circ$ και έτσι όλες οι κίτρινες γωνίες είναι από $30^\circ$ .

$\widehat {BOP} = 2\widehat {BAP}=60°$ άρα το τρίγωνο OBP

είναι ισόπλευρο πλευράς

έτσι $\boxed{m = HB = R = OC}$ .

Μετά απ’ αυτά από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων . $ADC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BDH$ προκύπτει το ζητούμενο.

thanasis.a · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:31 pm
Ίσα γινόμενα..png
Σε οξυγώνιο τρίγωνο είναι το ύψος, το ορθόκεντρο και το περίκεντρο.

Αν η διχοτομεί τη γωνία $D\widehat HC,$ να δείξετε ότι $\displaystyle BD \cdot AC = AD \cdot OC.$

: draw1.png (49.28 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

...καλησπέρα...

Έστω

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του $\widehat{ABC}$ . Έστω $N\equiv OA\cap (O)$ . Έχουμε λοιπόν ότι $\widehat{ACN}=90^{\circ}$ με $\widehat{ANC}=\widehat{ABD}$ (βαίνουν σε ιδιο τόξο)

και επίσης $\widehat{BAD}=\widehat{NAC}$ ως συμπληρώματα ισων γωνιών. ΄

Η ευθεία

είναι η ευθεία Euler στο $\widehat{ABC}$ και επίσης ο πράσινος κύκλος ο αντίστοιχος κύκλος Euler. Κατά συνέπεια έχουμε τα εξής δεδομένα:

α.

το κέντρο του κύκλου Euler, οπου FH=FO

β. $S\equiv HC\cap (F)$ με HS=SC

γ. $\displaystyle FD=FS=\frac{OC}{2}$

Κατά συνέπεια $\bigtriangleup HFD=\bigtriangleup HFS\,\,\,((HF=HF),\,\,\,DF=FS,\,\,\,\widehat{DHF}=\widehat{FHS})$ οπότε $\displaystyle HD=HS=\frac{HC}{2}\,\,\,(1)$ .

Η τελευταία ισότητα δείχνει ότι αφού: $\bigtriangleup HDC:\widehat{D}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{HCD}=30^{\circ}\,\,\,\,(2)$ .

Όμως επειδή $HC\perp AB,\,\,\,CD\perp AD\Rightarrow \widehat{HCD}=\widehat{DAB}=\widehat{NAC}=30^{\circ}$ οπότε $\widehat{ANC}=60^{\circ}\Rightarrow OC=NC\,\,\,(3)$

έχουμε τώρα $\displaystyle\bigtriangleup ANC\approx \bigtriangleup ABD\Rightarrow \frac{NC}{BD}=\frac{AC}{AD}\mathop\Rightarrow\limits^{(3)}\,\,\,\boxed{BD\cdot AC=AD\cdot OC}$

Ίσα γινόμενα

Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Μέλη σε σύνδεση