Τρίγωνο-120.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:46 pm

1.png

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Φάνη καλησπέρα.

Έστω, ότι το συμμετρικό του

ως προς την

είναι το

, και

το συμμετρικό του

ως προς την

.

Τότε, προφανώς $K \in AB$ , αφού $\angle KAD=\angle DAC=\angle BAD$ .

Ακόμη, είναι KD=DC=DL=b

, επομένως $AL=AD+DEL=a+b=AB \Rightarrow \angle ABL=\angle ALB=\angle DLB=\angle BKD$ .

Επίσης, $\angle KBD=\angle DBL \Rightarrow \angle ABL=2\theta$ , συνεπώς είναι $\angle BKD=2\theta$ .

Επιπλέον, $60^\circ=\angle ADC=\angle ADK=\angle KDB$ .

Τελικά, στο τρίγωνο $\vartriangle KBD$ είναι $\angle KBD+\angle BKD+\angle KDB=180^\circ \Rightarrow 3\theta+60^\circ=180^\circ \Rightarrow \theta=40^\circ$ .

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 11:44 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:46 pm
1.png

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .
Φάνη καλησπέρα.

Έστω, ότι το συμμετρικό του ως προς την είναι το , και το συμμετρικό του ως προς την .

Τότε, προφανώς $K \in AB$ , αφού $\angle KAD=\angle DAC=\angle BAD$ .

Ακόμη, είναι , επομένως $AL=AD+DEL=a+b=AB \Rightarrow \angle ABL=\angle ALB=\angle DLB=\angle BKD$ .

Επίσης, $\angle KBD=\angle DBL \Rightarrow \angle ABL=2\theta$ , συνεπώς είναι $\angle BKD=2\theta$ .

Επιπλέον, $60^\circ=\angle ADC=\angle ADK=\angle KDB$ .

Τελικά, στο τρίγωνο $\vartriangle KBD$ είναι $\angle KBD+\angle BKD+\angle KDB=180^\circ \Rightarrow 3\theta+60^\circ=180^\circ \Rightarrow \theta=40^\circ$ .

Το σχήμα της εμπνευσμένης λύσης του Ορέστη.

: τρίγωνο 120_Λύση Ορέστη.png (29.67 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Που με συντομία :

Από το $\vartriangle ABD$ έχω: $\widehat \phi + \widehat \theta = \widehat {CDA} = 60^\circ \,\,(1)$

Από το $\vartriangle AKD$ έχω:

$\widehat {BKD} = 2\widehat \theta = 60^\circ + \widehat \phi \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 2\widehat \theta = 60^\circ + (60^\circ - \widehat \theta ) \Rightarrow 3\widehat \theta = 120^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = 40^\circ }$

Τρίγωνο-120.

Τρίγωνο-120.

Re: Τρίγωνο-120.

Re: Τρίγωνο-120.

Μέλη σε σύνδεση