Ισχυρότερη της Holder (;)

sot arm · #1

Μου προέκυψε σαν γενίκευση μιας άσκησης και νομίζω έχει ένα ενδιαφέρον για την δομή των $L^{p}$ , (όλα τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue).

Έστω συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$ έτσι ώστε οι $f^{p}$ , $g^{q}$ να είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε φραγμένη μπάλα στον $\mathbb{R}^{d}$ και υπάρχει 0<a<1

(σταθερά) τέτοια ώστε:

$\displaystyle{|\int_{B}f(x)g(x)d\lambda (x)|\leq a(\int_{B}|f(x)|^{p} d\lambda(x))^{\frac{1}{p}} \cdot (\int_{B}|g(x)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}}$

Για κάθε φραγμένη μπάλα B, όπου p,q είναι συζυγείς εκθέτες.

Δείξτε ότι $f(x) \cdot g(x)=0$ σχεδόν παντού (ως προς το μέτρο Lebesgue).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

sot arm έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 6:39 pm
Μου προέκυψε σαν γενίκευση μιας άσκησης και νομίζω έχει ένα ενδιαφέρον για την δομή των $L^{p}$ , (όλα τα ολοκληρώματα είναι Lebesgue).

Έστω συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$ έτσι ώστε οι $f^{p}$ , $g^{q}$ να είναι ολοκληρώσιμες σε κάθε φραγμένη μπάλα στον $\mathbb{R}^{d}$ και υπάρχει (σταθερά) τέτοια ώστε:

$\displaystyle{|\int_{B}f(x)g(x)d\lambda (x)|\leq a(\int_{B}|f(x)|^{p} d\lambda(x))^{\frac{1}{p}} \cdot (\int_{B}|g(x)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}}$

Για κάθε φραγμένη μπάλα B, όπου p,q είναι συζυγείς εκθέτες.

Δείξτε ότι $f(x) \cdot g(x)=0$ σχεδόν παντού (ως προς το μέτρο Lebesgue).

Γεια σου Σωτήρη.
Εχεις την παρακάτω λύση;
Η κάποια άλλη.

Για όποιον γνωρίζει το παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ ... on_theorem
είναι σχεδόν τετριμένο.

Γράφοντας την σχέση

$\displaystyle|\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}f(x+t)g(x+t)d\lambda (t)|\leq$
$a(\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}|f(x+t)|^{p} d\lambda(t))^{\frac{1}{p}} \cdot (\frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)}|g(x+t)|^{q} d\lambda(x))^{\frac{1}{q}}$

και παίρνοντας $r\rightarrow 0^{+}$

έχουμε σχεδόν παντού $|f(x)g(x)|\leq a|f(x)||g(x)|$

και επειδή 0<a<1

έχουμε αυτό που θέλουμε.

sot arm · #3

Καλησπέρα κύριε Σταύρο, αυτή την λύση έχω. Δεν μου φάνηκε προφανής η εφαρμογή του θεωρήματος και είναι και σχετικά "βαρύ", θεώρησα πάντως ότι έχει ενδιαφέρον σαν αποτέλεσμα. Θα ήθελα να δω μία πιο στοιχειώδης λύση.

Ισχυρότερη της Holder (;)

Ισχυρότερη της Holder (;)

Re: Ισχυρότερη της Holder (;)

Re: Ισχυρότερη της Holder (;)

Μέλη σε σύνδεση