Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

MathSc · #1

Έστω

πολυώνυμο το οποίο δεν είναι ταυτοτικά

. Δείξτε ότι η εξίσωση $e^{x}=\left | P(x) \right |$ έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση.

Υποθέτω στόχος μας είναι να φτιάξουμε μια συνάρτηση $f(x) = e^{x}- \left | P(x) \right |$ , η οποία είναι συνεχής και να βρούμε ένα

για το οποίο είναι η

αρνητική, και άλλο ένα για το οποίο είναι θετική. Άρα αναγκαστικά θα υπάρχει κάποιο $x_{0}$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ .
Το όριο όταν $x\rightarrow -\infty$ είναι $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}-\left | P(x) \right |= 0 - (+\infty) = - \infty . }$ Το όριο όταν $x\rightarrow +\infty$ είναι $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}-\left | P(x) \right |= \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}(1 - \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}) }$ και το $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}$ είναι $\frac{+\infty}{+\infty}$ , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital τόσες φορές όσες ο βαθμός του πολυωνύμου θα πάρουμε στο τέλος ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}=0$ οπότε $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{x}(1 - \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}})= +\infty$ . Άρα, αφού

συνεχής αναγκαστικά περνάει και από το f(x)=0

άρα έχει αναγκαστικά τουλάχιστον μία πραγματική λύση. Είμαι σωστός; Κάποια άλλη προσέγγιση; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

#2

MathSc έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 9:09 pm
το $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\left | P(x) \right |}{e^{x}}$ είναι $\frac{+\infty}{+\infty}$ , άρα εφαρμόζοντας Del'Hospital

Μέσες άκρες σωστός (αλλά πλατειάζεις) όμως το παραπάνω σημείο θέλει επιδιόρθωση. Το πρόβλημα είναι ότι το |P(x)|

δεν είναι πάντα παραγωγίσιμο. Εύκολα διορθώνεται, αλλά το αφήνω χωρίς υπόδειξη για να το σκεφθείς.

Υπάρχει και λίγο ευκολότερος τρόπος επίλυσης. Το αφήνω για αργότερα.

MathSc · #3

Αν πάρω

μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital;

MathSc · #4

Επίσης σκέφτηκα το εξής για το $+\infty$ . Κάνοντας χρήσεις του Κανόνα l'Hospital έχουμε $\displaystyle{\frac{P(x)}{e^{x}}\rightarrow 0}$ όταν $x\rightarrow +\infty$ . Ως εκ τούτου υπάρχει κάποιο

τέτοιο ώστε $\left | \frac{P(x)}{e^{x}} \right | < 1$ για x>N

.

#5

MathSc έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 11:42 pm
Αν πάρω μεγαλύτερο από την μεγαλύτερη θετική ρίζα, τότε δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω κανόνα l' Hospital;

Όχι ακριβώς. Κάτι πας να πεις, αλλά κάπου χάνεσαι στην λεπτομέρεια.

Πρώτα απ' όλα μπορεί να μην έχει καμία ρίζα ή να έχει ρίζες αλλά να είναι όλες αρνητικές. Για δες το ξανά αλλά κάνοντας την απαραίτητη βελτίωση σε αυτό που προσπαθείς να πεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Για να δούμε γιατί αν P(x)

πολυώνυμο
υπάρχει $a\in \mathbb{R}$
με
$e^{a}> |P(a)|$
χωρίς όρια στηριζόμενοι στην προφανή

$e^{x}> x$

Εστω
$P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$
Αν θέσουμε
$M=\sum_{k=0}^{n}|a_{k}|$

τότε για x>1

είναι

$|P(x)|\leq Mx^{n}$

Αλλά
$e^{x}=(e^{\frac{x}{n+1}})^{n+1}> \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

Αρκεί να πάρουμε

τέτοιο ώστε

$\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}> Mx^{n} \Leftrightarrow x> M(n+1)^{n+1}$

Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Re: Τουλάχιστον μία πραγματική λύση

Μέλη σε σύνδεση