Φράγμα πρώτης παραγώγου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

δύο φορές παραγωγίσημη.

Θέτουμε $M_{i}=sup\left \{ |f^{(i)}(x)|:x\in \mathbb{R} \right \},i=0,1,2$

Είναι γνωστό ότι $M_{1}\leq 2\sqrt{M_{0}M_{2}}$

Να αποδειχθεί το καλύτερο

$M_{1}\leq \sqrt{2M_{0}M_{2}}$

σημείωση.Με $f^{(i)}(x)$ συμβολίζουμε την

παράγωγο.
Για i=0

έχουμε την συνάρτηση.

sot arm · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Απρ 21, 2019 5:42 pm Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

δύο φορές παραγωγίσημη.

Θέτουμε $M_{i}=sup\left \{ |f^{(i)}(x)|:x\in \mathbb{R} \right \},i=0,1,2$

Είναι γνωστό ότι $M_{1}\leq 2\sqrt{M_{0}M_{2}}$

Να αποδειχθεί το καλύτερο

$M_{1}\leq \sqrt{2M_{0}M_{2}}$

σημείωση.Με $f^{(i)}(x)$ συμβολίζουμε την παράγωγο.
Για έχουμε την συνάρτηση.

Καλησπέρα κ. Σταύρο, βάζω μια λύση.Φιξάρουμε h>0

, από Taylor έπεται:

$\displaystyle{f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{1}) (1)}$ για κάποιο $x_{1} \in (x,x+h)$
καθώς και ότι:

$\displaystyle{f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{2}) (2)}$
για κάποιο $x_{2} \in (x-h,x)$

Αφαιρώ τις 2 αυτές σχέσεις κατά μέλη, λύνω ως προς την παράγωγο, παίρνω απόλυτα και τριγωνική και έπεται:

$\displaystyle{|f'(x)|\leq \frac{M_{0}}{h}+\frac{hM_{2}}{2}}$

διαλέγω $h=\sqrt{\frac{2M_{0}}{M_{2}}}$ και το ζητούμενο έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

sot arm έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 10:33 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Απρ 21, 2019 5:42 pm Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

δύο φορές παραγωγίσημη.

Θέτουμε $M_{i}=sup\left \{ |f^{(i)}(x)|:x\in \mathbb{R} \right \},i=0,1,2$

Είναι γνωστό ότι $M_{1}\leq 2\sqrt{M_{0}M_{2}}$

Να αποδειχθεί το καλύτερο

$M_{1}\leq \sqrt{2M_{0}M_{2}}$

σημείωση.Με $f^{(i)}(x)$ συμβολίζουμε την παράγωγο.
Για έχουμε την συνάρτηση.
Καλησπέρα κ. Σταύρο, βάζω μια λύση.Φιξάρουμε , από Taylor έπεται:

$\displaystyle{f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{1}) (1)}$ για κάποιο $x_{1} \in (x,x+h)$
καθώς και ότι:

$\displaystyle{f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{2}) (2)}$
για κάποιο $x_{2} \in (x-h,x)$

Αφαιρώ τις 2 αυτές σχέσεις κατά μέλη, λύνω ως προς την παράγωγο, παίρνω απόλυτα και τριγωνική και έπεται:

$\displaystyle{|f'(x)|\leq \frac{M_{0}}{h}+\frac{hM_{2}}{2}}$

διαλέγω $h=\sqrt{\frac{2M_{0}}{M_{2}}}$ και το ζητούμενο έπεται.

Σωστά.
Ακριβώς την ίδια λύση είχα.

Φράγμα πρώτης παραγώγου

Φράγμα πρώτης παραγώγου

Re: Φράγμα πρώτης παραγώγου

Re: Φράγμα πρώτης παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση