Ανισότητα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω $f:[0,1]\rightarrow R$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο. Να δείξετε ότι

$\displaystyle \left | f\left (\dfrac{1}{2} \right )\right |\leq \int_{0}^{1}\left | f(x) \right |dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left | {f}'(x) \right |dx.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 02, 2019 11:06 pm
Έστω $f:[0,1]\rightarrow R$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο. Να δείξετε ότι

$\displaystyle \left | f\left (\dfrac{1}{2} \right )\right |\leq \int_{0}^{1}\left | f(x) \right |dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left | {f}'(x) \right |dx.$

Για $0\leq x\leq \frac{1}{2}$

είναι $\displaystyle f(\frac{1}{2})-f(x)=\int_{x}^{\frac{1}{2}}f'(t)dt$

παίρνοντας απόλυτα και χρησιμοποιώντας απλές ιδιότητες του ολοκληρώματος

προκύπτει

$\displaystyle |f(\frac{1}{2})|\leq |f(x)|+\int_{0}^{\frac{1}{2}}|f'(t)|dt$

ολοκληρώνοντας στο $[0,\frac{1}{2}]$

παίρνουμε

$\displaystyle \frac{1}{2}|f(\frac{1}{2})|\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}|f(x)|dx+ \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}|f'(t)|dt$ (1)

Δουλεύοντας όμοια για $\frac{1}{2}\leq x\leq1$

παίρνουμε

$\displaystyle \frac{1}{2}|f(\frac{1}{2})|\leq \int_{\frac{1}{2}}^{1}|f(x)|dx+ \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{1}|f'(t)|dt$ (2)

Προσθέτοντας τις (1),(2) παίρνουμε την ζητούμενη.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση