Ανισότητες Cauchy

Soniram89 · #1

$\large f:D(1,\frac{3}{2})\rightarrow \mathbb{C}$ ολόμορφη και στο σύνορο!!!

Έστω $\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}z^{n}$ το ανάπτυγμα Taylor της $\large f$ γύρω από το $\large 0$

Δείξτε ότι $\large \left | a_{n} \right |<\frac{M}{\frac{1}{2^n}}$ , όπου $\large M$ θετική σταθερά!!!

Οποιαδήποτε υπόδειξη θα βοηθούσε πολύ!!!

#2

Soniram89 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 2:52 am
$\large f:D(1,\frac{3}{2})\rightarrow \mathbb{C}$ ολόμορφη και στο σύνορο!!!

Έστω $\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}z^{n}$ το ανάπτυγμα Taylor της $\large f$ γύρω από το $\large 0$

Δείξτε ότι $\large \left | a_{n} \right |<\frac{M}{\frac{1}{2^n}}$ , όπου $\large M$ θετική σταθερά!!!

Οποιαδήποτε υπόδειξη θα βοηθούσε πολύ!!!

Πρόκειται για την ανισότητα Cauchy. Με άλλα λόγια (υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μιγαδικής Ανάλυσης) αν

φράγμα της

τότε από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy για τους συντελεστές του $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_n{}(z-z_0)^{n}$ έχουμε

$\displaystyle{|a_n|= \left | \dfrac {f^{(n)}}{n!} \right |= \left |\dfrac {1}{2\pi i } \int _C \dfrac {f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1} } \right |\le \dfrac {M}{R^n} }$

Εδώ εργαζόμαστε στον κύκλο κέντρου z_0=0

και ακτίνας $R = \frac {1}{2}$ o οποίος βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον δοθέντα $D(1,\frac{3}{2})$

mathematica.gr

Ανισότητες Cauchy

Ανισότητες Cauchy

Re: Ανισότητες Cauchy

Μέλη σε σύνδεση