Μέγιστο εμβαδόν 12

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 12.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι AB=2AC (=2b)

και

το μέσο της υποτείνουσας

.

Στην προέκταση της

, θεωρούμε σημείο

και φέρουμε την

, η οποία τέμνει την

στο σημείο

. Η κάθετη

από το

προς την

, προεκτεινόμενη τέμνει την

στο σημείο

.

Βρείτε την θέση του

για την οποία μεγιστοποιείται το (PAQT)

και υπολογίστε το $(PAQT)_{max}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 10:28 am
Μέγιστο εμβαδόν 12.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι και το μέσο της υποτείνουσας .

Στην προέκταση της , θεωρούμε σημείο και φέρουμε την , η οποία τέμνει την

στο σημείο . Η κάθετη από το προς την , προεκτεινόμενη τέμνει την στο σημείο .

Βρείτε την θέση του για την οποία μεγιστοποιείται το και υπολογίστε το $(PAQT)_{max}$ .

Καλησπέρα!

Έστω SA=x

Θεώρημα Μενελάου στο ABC

με διατέμνουσα $\overline{STM}$ : $\dfrac{x}{x+2b}\cdot \dfrac{MB}{MC} \cdot \dfrac{PC}{PA}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{x+2b}{x}=\dfrac{b-AP}{AP}\Leftrightarrow AP=\dfrac{bx}{2\left ( b+x \right )},PC=b-AP=\dfrac{b\left ( 2b+x \right )}{2\left (b+x \right )}$

$\overset{\Delta }{SPA}\sim \overset{\Delta }{ACQ}\Rightarrow \dfrac{x}{PA}=\dfrac{b}{AQ}\Leftrightarrow AQ=\dfrac{b^2}{2\left ( b+x \right )}$

$\overset{\Delta }{CPT}\sim \overset{\Delta }{ACQ}\Rightarrow \dfrac{b}{AQ}=\dfrac{CT}{PT}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow PT=\dfrac{b\cdot CT}{2\left ( b+x \right )}\,\,\,{*}$

Πυθαγόρειο στο CPT

: $PC^2=CT^2+\dfrac{b^2CT^2}{4\left ( b+x \right )^2}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow CT=\dfrac{b\left ( 2b+x \right )}{\sqrt{4\left ( b+x \right )^2+b^2}}$

Αντικαθιστούμε το

στην

και έχουμε :

$\left ( ACT \right )=\dfrac{1}{2}PT\cdot CT=..=\dfrac{b^3\left ( 2b+x \right )^2}{4\left ( b+x \right )\left ( 4\left ( b+x \right )^2+b^2 \right )}$

$\left ( ACQ \right )=\dfrac{1}{2}AQAC=\dfrac{b^3}{4\left ( b+x \right )}$

$\left ( PTQA \right )=\left ( ACQ \right )-\left ( CPT \right )=...=\dfrac{b^3}{4}\cdot \dfrac{b+3x}{5b^2+8bx+4x^2}$

Είναι $\dfrac{b+3x}{5b^2+8bx+4x^2}\leq \dfrac{1}{4b}\Leftrightarrow b^2-4bx+4x^2\geq 0$ που ισχύει ,με την ισότητα για $x=\dfrac{b}{2}$ .

$\left ( PTAQ \right )_{\max}=\dfrac{b^3}{16b}=\dfrac{b^2}{16}$

#3

Έστω

το μέσο του $AC\,$ . Σχηματίζω το τετράγωνο CAKL

. Προφανώς :

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle AQC = \vartriangle NPM \hfill \\ \vartriangle AQC \approx \vartriangle TPC \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Θέτω $AQ = x\,\,\,\,(\kappa \alpha \iota \,\,\,PN = x\,)\,,\,\,CT = y\,\,,\,\,PT = u$ με b,x,y,u > 0

. Θα ισχύουν :

: μέχιστο εμβαδόν 12.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{CT}}{{CA}} = \frac{{CP}}{{CQ}} \hfill \\ \frac{{PT}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y\sqrt {{x^2} + {b^2}} = b\left( {x + \frac{b}{2}} \right)\,\,(1) \hfill \\ u\sqrt {{x^2} + {b^2}} = x\left( {x + \frac{b}{2}} \right)\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή E = (AQTP) = (AQC) - (TPC)

και λόγω των $(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ θα έχω:

$E = f(x) = \dfrac{1}{2}bx - \dfrac{1}{2}uy = \dfrac{1}{2}bx - \dfrac{1}{2}bx\dfrac{{{{\left( {x + \dfrac{b}{2}} \right)}^2}}}{{{x^2} + {b^2}}}$ ή $\boxed{E = f(x) = \frac{{{b^2}x(3b - 4x)}}{{8({x^2} + {b^2})}}}\,\,\,(3)$

Επειδή : $\dfrac{{{b^2}x(3b - 4x)}}{{8({x^2} + {b^2})}} \leqslant \dfrac{{{b^2}}}{{16}}\,\, \Leftrightarrow {(3x - b)^2} \geqslant 0$ , το εμβαδόν θα παίρνει μέγιστη τιμή :

$\boxed{{E_{\max }} = \frac{{{b^2}}}{{16}}}$ όταν $\boxed{AQ = {x_0} = \frac{b}{3}}$ .

Altrian · #4

Καλησπέρα,

Βασίζομαι στην πολύ όμορφη λύση του Νίκου για να διατυπώσω μια ακόμα.

$(PAQT)=(CAQ)-(CPT)=(NPM)-(CPT)= (FTM)-(CNF)=(CTM)-(CNM)=(CTM)-\dfrac{b^{2}}{4}$

Αρα $E_{max}=(CTM)_{max}-\dfrac{b^{2}}{4}$ . Το (CTM)

είναι ορθογώνιο τρίγωνο με σταθερή υποτείνουσα
οπότε μεγιστοποιείται όταν είναι ισοσκελές. Αρα η θέση μεγίστου προκύπτει όταν από το μέσο

φέρουμε ευθεία υπό γωνία

ως προς την

.

Οι υπολογισμοί μετά είναι απλοί και το αποτέλεσμα έχει ήδη δοθεί.

#5

Altrian έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 28, 2019 9:42 pm
Καλησπέρα,

Βασίζομαι στην πολύ όμορφη λύση του Νίκου για να διατυπώσω μια ακόμα.

$(PAQT)=(CAQ)-(CPT)=(NPM)-(CPT)= (FTM)-(CNF)=(CTM)-(CNM)=(CTM)-\dfrac{b^{2}}{4}$

Αρα $E_{max}=(CTM)_{max}-\dfrac{b^{2}}{4}$ . Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο με σταθερή υποτείνουσα
οπότε μεγιστοποιείται όταν είναι ισοσκελές. Αρα η θέση μεγίστου προκύπτει όταν από το μέσο φέρουμε ευθεία υπό γωνία ως προς την .

Οι υπολογισμοί μετά είναι απλοί και το αποτέλεσμα έχει ήδη δοθεί.

Ωραίες σκέψεις .

Μέγιστο εμβαδόν 12

Μέγιστο εμβαδόν 12

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

Μέλη σε σύνδεση