Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

[ekechagi]

Καλησπέρα στην κοινότητα.
Θα ήθελα τις απόψεις σας σχετικά με την παρακάτω απόδειξη του Α3, αν και κατά πόσο αυτή μπορεί να ληφθεί ως σωστή.

μαθ.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 3846 φορές

[Christos.N]

Πως μπορεί να εξασφαλιστεί από την ανάπτυξη της παραπάνω απάντησης ότι ενδεχομένως υπάρχουν όπου χωρίς όμως να ορίζεται διάστημα που η να έχει την ιδιότητα της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης. Δηλαδή πως εξασφαλίσαμε από την παραπάνω απόδειξη ότι η άρνηση του ισχυρισμού συνεπάγεται διάστημα .

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ο ισχυρισμός είναι λάθος.

Υπάρχει παραγωγίσημη συνάρτηση που δεν είναι μονότονη
σε κανένα υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.
Στο παρακάτω θα δείτε την κατασκευή της.

https://stuff.mit.edu/afs/athena/contri ... uiggly.pdf

Προφανώς είναι εκτός φακέλλου αλλά δεν υπάρχει από όσο
γνωρίζω απλό παράδειγμα.

Αυτά μέχρι το σημείο που είναι γραμμένο το

''Αφου ,λοιπόν ,δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα η σταθερή,θα είναι γνησίως αύξουσα''

Το τελευταίο μπάζει ακόμα και για Γ Λυκείου.

[ekechagi]

Πως μπορεί να εξασφαλιστεί από την ανάπτυξη της παραπάνω απάντησης ότι ενδεχομένως υπάρχουν όπου χωρίς όμως να ορίζεται διάστημα που η να έχει την ιδιότητα της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης. Δηλαδή πως εξασφαλίσαμε από την παραπάνω απόδειξη ότι η άρνηση του ισχυρισμού συνεπάγεται διάστημα .

Εάν για ισχύει , τότε από το Θ.Μ.Τ. θα προκύψει αρνητική παράγωγος, το οποίο είναι εκ θεωρήσεως αδύνατο.
Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω

Με τη θεώρηση ότι τα οποιαδήποτε χ που θέτουν το υποδιάστημα ορισμού διαφέρουν αρκετά λίγο μεταξύ τους (κατά τον τρόπο που ορίζεται και το ακρότατο συνάρτησης), μπορεί η συνάρτηση να σπάσει σε αρκετά μικρά διαστήματα, όπου δεν θα ισχύει η συνθήκη δ). Αφού, λοιπόν, αποδεικνύεται ότι για οποιοδήποτε υποδιάστημα η f δεν είναι σταθερή και φθίνουσα, θα πρέπει αυτή να είναι αύξουσα σε κάθε υποδιάστημα και, άρα, σε όλο το πεδίο ορισμού της.

[grigkost]

...Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω...

Ούτε σε επίπεδο Γ' λυκείου δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται το παραπάνω, αφού δεν είναι αληθές. (το παράδειγμα συνάρτησης που δίνει παραπάνω ο Σταύρος ξεκαθαρίζει πλήρως το θέμα).
Άλλωστε και στο επίπεδο Γ' λυκείου αυτό που ισχύει αναφέρεται σε κάποιο θεώρημα (ή συνδυασμούς θεωρημάτων). Και θεώρημα για τις 3+1 καταστάσεις, προφανώς, δεν υπάρχει.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

...Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω...

Ούτε σε επίπεδο Γ' λυκείου δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται το παραπάνω, αφού δεν είναι αληθές. (το παράδειγμα συνάρτησης που δίνει παραπάνω ο Σταύρος ξεκαθαρίζει πλήρως το θέμα).
Άλλωστε και στο επίπεδο Γ' λυκείου αυτό που ισχύει αναφέρεται σε κάποιο θεώρημα (ή συνδυασμούς θεωρημάτων). Και θεώρημα για τις 3+1 καταστάσεις, προφανώς, δεν υπάρχει.

Να σημειώσω ότι στο σχολικό σελ 174 άσκηση 10 ορίζεται η συνάρτηση
με


.

Για αυτήν δεν ισχύουν τα παραπάνω

[Ανδρέας Πούλος]

Και το απλούστερο των επιχειρημάτων.
Αν γνωρίζει κάποιος την απόδειξη της πρότασης "αν η f έχει αρνητική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως φθίνουσα", ας την παρουσιάσει.
Μόνο μην αναφέρει ότι "γνωρίζω ότι αν η f έχει θετική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως αύξουσα".

[Mihalis_Lambrou]

Και το απλούστερο των επιχειρημάτων.
Αν γνωρίζει κάποιος την απόδειξη της πρότασης "αν η f έχει αρνητική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως φθίνουσα", ας την παρουσιάσει.
Μόνο μην αναφέρει ότι "γνωρίζω ότι αν η f έχει θετική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως αύξουσα".

Ανδρέα, αυτό ζητάς;

Αν τότε για κάποιο μεταξύ τους είναι