Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#1

: Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

Το

είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο

Τα σημεία

βρίσκονται πάνω στα τμήματα AC, BC

ώστε

Αν

είναι το σημείο τομής των AC, DN

και

το σημείο τομής των AB, DM,

να δείξετε ότι PR=PD.

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls

Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:08 am

Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png
Το είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο Τα σημεία βρίσκονται πάνω στα τμήματα ώστε

Αν είναι το σημείο τομής των και το σημείο τομής των να δείξετε ότι

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls

Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;

Καλημέρα Γιώργο!

Το ABCD

είναι ρόμβος, οπότε $\angle DCA=\angle ACB$ , άρα $\angle DCM=\angle MCN$ . Ακόμη, MD=MN

οπότε από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων προκύπτει ότι $\angle CDM=\angle CNM$ ή $\angle CDM+\angle CNM=\pi$ .

Αν ισχύει το πρώτο, τα τρίγωνα $\vartriangle CDM, \vartriangle CMN$ είναι ίσα, οπότε CD=CN<CB=CD

, άτοπο.

Άρα, $\angle CDM+\angle CNM=\pi$ οπότε το CDMN

είναι εγγράψιμο, οπότε $\angle DCM=\angle MCN=\angle NDM=\angle DNM=\phi$ , οπότε και :

$\angle PAR=\angle CAB=\angle DCA=\phi=\angle PDR \Rightarrow \angle PAR=\angle PDR \Rightarrow PDAR$ εγγράψιμο.

Άρα, $\angle PDR=\angle PAR=\phi=\angle PAD=\angle PRD \Rightarrow \angle PDR=\angle PRD \Rightarrow PD=PR$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(Απάντηση στην ερώτηση κρίσεως

: Όχι δεν ταιριάζει σε καμία περίπτωση στο Προχωρημένο Επίπεδο Seniors).

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Γειά σας!
Φέρω την διαγώνιο

του ρόμβου οπότε έχω $\widehat{BDM}=\widehat{DBM}=\omega$ και $\widehat{MBP}=\widehat{MDP}=\widehat{DNM}=\vartheta$ .Το τετράπλευρο MPNB

είναι εγγράψιμο, οπότε θα έχω $\widehat{PMN}=\widehat{PBN}$ . Τώρα στα τρίγωνα MNC

και

έχουμε $\widehat{CMN}=\widehat{PBN}$ και $\widehat{MCB}$ κοινή, άρα και $\widehat{MNC}=\widehat{BPC}=\widehat{MPN}$ , άρα θα είναι και $\widehat{PNM}=\widehat{PCN}$ . Στο τετράπλευρο DPRA

έχουμε $\widehat{DRA}=\vartheta +\zeta =\widehat{DPA}$ άρα εγγράψιμο, οπότε $\widehat{DAC}=\widehat{DRP}=\vartheta$ , δηλαδή το DPR

είναι ισοσκελές, οπότε DP=PR

(Θα συμφωνήσω με τον Ορέστη, πως η άσκηση δεν είναι για προχωρημένο επίπεδο Seniors)

: Από ισοσκελές σε ισοσκελές.PNG (52.62 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:08 am
Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png
Το είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο Τα σημεία βρίσκονται πάνω στα τμήματα ώστε

Αν είναι το σημείο τομής των και το σημείο τομής των να δείξετε ότι

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls

Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;

Με $\displaystyle ME \bot DN \Rightarrow E$ μέσον του $\displaystyle DN$ άρα $\displaystyle EO//DA$ και $\displaystyle DOME$ εγγράψιμο

Έτσι οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα $\displaystyle DPRA$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow \boxed{DP = PR}$

(Γιώργο, τώρα πρόσεξα ότι η άσκηση ήταν μόνο για μαθητές...)

: Από ισοσκελές σε ισοσκελές.png (31.99 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

#5

Ευχαριστώ τον Ορέστη, τον Θεοδόσιο και τον Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις τους.

Η άσκηση είναι από το Germany Team Selection Test 2010!

Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση