Ισοσκελές και λόγος

#1

: Ισοσκελές και λόγος.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος

έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος

.

Ο κύκλος (A,D,C)

τέμνει τη πλευρά

στο σημείο

και οι ευθείες ,

και

τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm

Ισοσκελές και λόγος.png
Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος .

Ο κύκλος τέμνει τη πλευρά στο σημείο και οι ευθείες , και τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$ .

Καλησπέρα κ.Νίκο !

Έστω,

το συμμετρικό του

ως προς την

. Τότε, εύκολα προκύπτει πως AA'=2AK=DC

, καθώς και ότι $\angle DCA'=\angle BCA'+\angle DCB=\angle C+\angle C/2=3\angle C/2=\angle B +\angle C/2=\angle ADC$ , οπότε $\angle DCA'=\angle ADC$ , συνεπώς $DA \parallel CA'$ .

Άρα, από τις πιο πάνω παρατηρήσεις το DACA'

είναι ισοσκελές τραπέζιο. Οπότε, τα D,A,C,A',E

είναι ομοκυκλικά.

Προφανώς, τα τρίγωνα $\vartriangle EAC, \vartriangle ECA'$ είναι ίσα (λόγω του συμμετρικού) οπότε αφού τα E,A,C,A'

είναι ομοκυκλικά, έχουμε ότι $\angle EDC=\angle EAC=\angle EA'C=90^\circ$ .

Άρα, προκύπτει ότι $\angle DEC+\angle DCE=90^\circ \Rightarrow 180^\circ-\angle A+\angle C/2=90^\circ \Rightarrow 5\angle C/2=90^\circ \Rightarrow \angle C=36^\circ$ .

Οπότε, $\angle A=102^\circ, \angle B=\angle C=36^\circ$ .

Τώρα, τα τρίγωνα $\vartriangle TDA, \vartriangle DBC$ είναι όμοια (απλό angle-chasing) οπότε $CD/AT=BD/DA=BC/AC=\sin 108^\circ/\sin 36^\circ=2\cos 36^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ που φυσικά ισούται με τον αριθμό $\phi$ !

#3

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος .

Ο κύκλος τέμνει τη πλευρά στο σημείο και οι ευθείες , και τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$ .

Έστω

Από τον τύπο της διχοτόμου και τη σχέση CD=2AK

έχουμε:

: Ισοσκελές και λόγος.png (10.38 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

$\displaystyle ab\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) = 4{b^2} - {a^2} \Leftrightarrow {a^4} + 3{a^3}b - {a^2}{b^2} - 8a{b^3} - 4{b^4} = 0,$ άρα $\boxed{\frac{a}{b}=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\Phi}$ (*)

Εύκολα τώρα, είναι $\displaystyle \widehat T = \frac{{\widehat C}}{2} = 18^\circ ,\widehat B = A\widehat OT = 36^\circ$ και από την ομοιότητα των τριγώνων ATD, BDC,

είναι $\boxed{\frac{{CD}}{{AT}} = \frac{{DB}}{{DA}} = \frac{a}{b} = \Phi }$

(*) Για τη λύση της εξίσωσης θέτω $\dfrac{a}{b}=x$ και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle {x^4} + 3{x^3} - {x^2} - 8x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 3{x^3} - 4x - ({x^2} + 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle x\left( {{{(x + 2)}^2}(x - 1)} \right) - {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)^2}({x^2} - x - 1) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=\Phi}$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος .

Ο κύκλος τέμνει τη πλευρά στο σημείο και οι ευθείες , και τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$ .

Αλλιώς ο υπολογισμός των γωνιών του τριγώνου. Έστω BC=a, AB=AC=b.

Το

είναι το έγκεντρο του ABC.

: Ισοσκελές και λόγος.β.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

$\displaystyle \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{2b}}{{a + 2b}},\frac{{ID}}{{CD}} = \frac{b}{{a + 2b}}\mathop \Rightarrow \limits^{CD = 2AK} \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{ID}}{{AK}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AI=ID}$ και από το άθροισμα

των γωνιών του τριγώνου AID,

$\displaystyle 90^\circ - \frac{{\widehat C}}{2} + 2(90^\circ - \widehat C) = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat B = \widehat C = 36^\circ \Rightarrow \frac{a}{b} = \Phi ,$ κλπ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:42 pm
Ισοσκελές και λόγος.png

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC\left( {AB = AC} \right)$ η διχοτόμος έχει διπλάσιο μήκος από το ύψος .

Ο κύκλος τέμνει τη πλευρά στο σημείο και οι ευθείες , και τέμνονται στο σημείο

Βρείτε το λόγο : $\dfrac{{CD}}{{AT}}$ .

Με $\displaystyle N$ μέσον της $\displaystyle CD$ $\displaystyle \Rightarrow KN//AB$ και $\displaystyle AK = DN \Rightarrow ANKD$ ισοσκελές τραπέζιο ,άρα

$\displaystyle \angle \frac{A}{2} = \angle CDA \Rightarrow \angle CDT = \angle \frac{A}{2} + B = {90^0} \Rightarrow B + \left( {\frac{B}{2} + B} \right) = {90^0}$

Άρα, $\displaystyle B = C = {36^0} \Rightarrow {\text{ }}\frac{a}{b} = \phi$

$\displaystyle \angle KAE = 2B = {72^0} \Rightarrow \angle ETK = {18^0} = \angle AED \Rightarrow TA = AE$

και $\displaystyle \vartriangle ABE \simeq \vartriangle NKC \Rightarrow \frac{{AE}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{KC}} \Rightarrow \frac{{AT}}{{\frac{{CD}}{2}}} = \frac{b}{{\frac{a}{2}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{CD}}{{AT}} = \frac{a}{b} = \phi }$

: ισοσκελές και λόγος.png (28.77 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Ισοσκελές και λόγος

Ισοσκελές και λόγος

Re: Ισοσκελές και λόγος

Re: Ισοσκελές και λόγος

Re: Ισοσκελές και λόγος

Re: Ισοσκελές και λόγος

Μέλη σε σύνδεση