Χωρίς τριγωνομετρία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Χωρίς τριγωνομετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am

shape.png
shape.png (6.4 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιούλ 18, 2019 12:22 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am
shape.pngΤο ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.

Καλημέρα!

Έστω L,N οι ορθές προβολές του E πάνω στις AD,AB αντίστοιχα.
Θέτω AL=x και LE=y
Με πυθαγόρειο στα ALE,LED: \left\{\begin{matrix} &x^2=1-y^2 & \\ & y^2=7-(a-x)^2 \,\,(1)& \end{matrix}\right.\overset{(1)}{\Rightarrow }x^2=1-\left ( 7-(a-x)^2 \right )\Leftrightarrow x=\dfrac{a^2-6}{2a}

Με πυθαγόρειο στο NEB: x^2=9-(a-y)^2\overset{y^2=1-x^2}{\Leftrightarrow} y=\dfrac{a^2-8}{2a}

Έτσι έχουμε x^2+y^2=1\Leftrightarrow \dfrac{a^4-12a^2+36+a^4-16a^2+64}{4a^2}=1\Leftrightarrow a^4-16a^2+50=0
Λύνοντας την εξίσωση κρατάμε την λύση a=\sqrt{8+\sqrt{14}}
91.PNG
91.PNG (15.48 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιούλ 18, 2019 1:18 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 12:22 pm
Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am
shape.pngΤο ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.

Καλημέρα!

Έστω L,N οι ορθές προβολές του E πάνω στις AD,AB αντίστοιχα.
Θέτω AL=χ και LE=y
Με πυθαγόρειο στα ALE,LED: \left\{\begin{matrix} &x^2=1-y^2 & \\ & y^2=7-(a-x)^2 \,\,(1)& \end{matrix}\right.\overset{(1)}{\Rightarrow }x^2=1-\left ( 7-(a-x)^2 \right )\Leftrightarrow x=\dfrac{a^2-6}{2a}

Με πυθαγόρειο στο NEB: x^2=9-(a-y)^2\overset{y^2=1-x^2}{\Leftrightarrow} y=\dfrac{a^2-8}{2a}

Έτσι έχουμε x^2+y^2=1\Leftrightarrow \dfrac{a^4-12a^2+36+a^4-16a^2+64}{4a^2}=1\Leftrightarrow a^4-16a^2+50=0
Λύνοντας την εξίσωση κρατάμε την λύση a=\sqrt{8+\sqrt{14}}
91.PNG
Ολόσωστος, ταχύτατος και εντός πρόκλησης! :clap2: :clap2: :clap2:


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιούλ 21, 2019 6:38 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am
shape.pngΤο ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.

\displaystyle ADPQ είναι το συμμετρικό του \displaystyle ABCD ως προς την \displaystyle AD

Με θ.διαμέσου στο \displaystyle \vartriangle QEB \Rightarrow Q{E^2} + 7 = 2{a^2} \Rightarrow Q{E^2} + E{D^2} = Q{D^2} \Rightarrow \angle QED = {90^0}

Έτσι,ο περίκυκλος του \displaystyle ADPQ περνά από το \displaystyle E και \displaystyle \angle QEA = {45^0} \Rightarrow \angle AED = {135^0}

Εύκολα τώρα με ν.συνημιτόνου στο \displaystyle \vartriangle AED παίρνουμε \displaystyle \boxed{a = \sqrt {8 + \sqrt {14} } }
χωρίς τριγωνομετρία.png
χωρίς τριγωνομετρία.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:37 pm

Στρέφουμε το\bigtriangleup AED κατά 90 μοίρες γύρω από το A και παίρνουμε το \bigtriangleup AFB.

FB^{2}+FE^{2}=BE^{2}\Rightarrow \angle BFE=90., Αλλά εκ κατασκευής BF,ED κάθετες, άρα F,E,D συνευθειακά.

BD^{2}=BF^{2}+FD^{2}=7+7+2+2\sqrt{14}=2(8+\sqrt{14})\Rightarrow a=\sqrt{8+\sqrt{14}}
Συνημμένα
χωρις τριγωνομετρία.png
χωρις τριγωνομετρία.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Ιούλ 23, 2019 9:16 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am
shape.pngΤο ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια με Αναλυτική Γεωμετρία... Εκτός Φακέλου;
Χωρίς τριγωνομετρία.png
Χωρίς τριγωνομετρία.png (60.39 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές
Οι τρεις κύκλοι του σχήματος έχουν τις παρακάτω εξισώσεις :
(C_1): x^2 +y^2 =9
(C_3):x^2 +(y-a)^2=1
(C_2):(x-a)^2 + (y-a)^2 =7
Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων βρίσκουμε τις συντεταγμένες
του σημείου τομής των τριών κύκλων.
Είναι: E\left ( \dfrac{a^2-6}{2a},\dfrac{a^2+8}{2a} \right ) .
Αντικαθιστώντας τις παραπάνω συντεταγμένες στην εξίσωση του κύκλου C_1
προκύπτει η εξίσωση : a^4 -16a^2 +50 = 0 .
Έχουμε δύο θετικές λύσεις :
Η a= \sqrt{8-\sqrt{14}} απορρίπτεται , επειδή είναι μικρότερη από 3. (Βλ. σχήμα)
Άρα δεκτή είναι η a= \sqrt{8+\sqrt{14}}.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Χωρίς τριγωνομετρία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Ιούλ 26, 2019 11:18 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:12 am
Το ABCD είναι τετράγωνο, του οποίου ζητείται η πλευρά a .

Στο παρελθόν έχουμε δει παρεμφερείς ασκήσεις στο :logo: . Δεκτές όλες οι λύσεις, αλλά η πρόκληση είναι να λυθεί χωρίς τριγωνομετρία.
Μιχάλη καλησπέρα...

Στις ανωτέρω λύσεις ασφαλώς εννοείται ότι το σημείο \displaystyle{E} είναι εντός του τετραγώνου για το λόγο αυτό απορρίφθηκε η δεύτερη λύση
που είναι:
\displaystyle{a=\sqrt{8-\sqrt{14}} \  \ (1)}

Αν όμως θεωρήσουμε ότι κι αυτή ικανοποιεί για τα τρίγωνα \displaystyle{(ABE), (BED), (AED)} την τριγωνική ανισότητα, τότε θα μπορούσαμε
να τη δεχτούμε.

Τότε όμως το σημείο \displaystyle{E} βρίσκεται εκτός του τριγώνου, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Χωρίς τριγωνομετρία 1 (τετράγωνο).png
Χωρίς τριγωνομετρία 1 (τετράγωνο).png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Το σχήμα κατασκευάστηκε με τα δεδομένα αυτά όπως και στην περίπτωση της πρώτης ρίζας.

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Την ιδέα αυτή μου τη μετέφερε απόψε ο συνάδελφος Δημήτρης Ποτίκας σε μια κουβέντα μας. Πολλές φορές
κουβεντιάζω μαζί του θέματα γεωμετρίας με αρκετό ενδιάφέρον.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης