Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Ιστοσελίδα · #1

Ισχύει ότι όταν το όριο : $lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ η f(x) έχει κλίση "παρόμοια" με της y=mx για x κοντά στο άπειρο;

#2

polysot έγραψε:Ισχύει ότι όταν το όριο : $lim_{x \rightarrow +\infinity} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ έχει κλίση "παρόμοια" με της y=mx για x κοντά στο άπειρο;

Όχι κατ' ανάγκη: f(x) = x + sinx

Ιστοσελίδα · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
polysot έγραψε:Ισχύει ότι όταν το όριο : $lim_{x \rightarrow +\infinity} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ έχει κλίση "παρόμοια" με της y=mx για x κοντά στο άπειρο;
Όχι κατ' ανάγκη: f(x) = x + sinx

Μιχάλη ευχαριστώ για την άμεση απάντηση, αλλά και εδώ το όριο f(x)/x στο άπειρο δεν είναι 1 και η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν "πλέκεται" τριγύρω από την y=x; Ή έγινε κάποια παρανόηση γιατί δεν το είχα γράψει εντελώς σωστά;

7apostolis · #4

Καλησπέρα, κοίταξε την f(x)= x + $\cos ^{2}x$ .
A. Παπαδογιαννάκης

#5

polysot έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε: <...> αλλά και εδώ το όριο f(x)/x στο άπειρο δεν είναι 1 και η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν "πλέκεται" τριγύρω από την y=x; Ή έγινε κάποια παρανόηση γιατί δεν το είχα γράψει εντελώς σωστά;

Σωτήρη, μήπως δεν βλέπω κάτι (στην απάντησή σου εννοώ). Το όριο στο άπειρο αυτής που δίνω είναι 1.

Μ.

Ιστοσελίδα · #6

Συγνώμη, μάλλον δεν έχω θέσει σωστά την ερώτηση: δεν εννοώ ότι έχει κλίση ίδια ή κοντά σε αυτήν.
Έγραψα έχει κλίση "παρόμοια", εννοώντας ότι στη γενική της κατεύθυνση η γραφική της παράσταση πηγαίνει προς την κατεύθυνση της y=mx. Δεν ξέρω καταλαβαίνετε τι εννοώ, όμως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που γράψετε δείχνουν αυτό ακριβώς που θέλω να πω.
Βοηθήστε με να το διατυπώσω σωστά...Συγνώμη και πάλι για την ανακρίβεια...

#7

Σωτήρη, τότε ίσως η εξής συνάρτηση απαντά αρνητικά:

$f(x) = x + \sqrt x \sin x$

Τώρα η κλίση, $1 + \sqrt x \cos x + \frac {1}{2 \sqrt x} \sin x$ ,

παίρνει οσοδήποτε μεγάλες τιμές.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωτήρη, τότε ίσως η εξής συνάρτηση απαντά αρνητικά:

$f(x) = x + \sqrt x \sin x$

Τώρα η κλίση, $1 + \sqrt x \cos x + \frac {1}{2 \sqrt x} \sin x$ ,

παίρνει οσοδήποτε μεγάλες τιμές.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δυστυχώς Μιχάλη αυτή αποτυγχάνει διότι έχει όριο στο άπειρο f(x)/x άπειρο επίσης...ευχαριστώ πάντως έχεις απίστευτη ποικιλία έτοιμων παραδειγμάτων στο μυαλό σου!!!

#9

polysot έγραψε: <...> αυτή αποτυγχάνει διότι έχει όριο στο άπειρο f(x)/x άπειρο

Σωτήρη, το όριο στο άπειρο είναι 1.

Μ.

Ιστοσελίδα · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
polysot έγραψε: <...> αυτή αποτυγχάνει διότι έχει όριο στο άπειρο f(x)/x άπειρο
Σωτήρη, το όριο στο άπειρο είναι 1.

Μ.

Εχεις δίκιο!!! Ευχαριστώ, δεν το πρόσεξα καλά...γεωμετρικά πάντως η γραφική της παράσταση ακολουθεί την y=x επίσης ! Θα μπορούσαμε συνεπώς να διατυπώσουμε ένα σχετικό συμπέρασμα της ιδέας ότι : "ακολουθεί μία οπτική πορεία παράλληλη με την y=mx" ή κάτι τέτοιο? Ξέρετε διαισθητικά - γεωμετρικά εννοώ. Ή μήπως τελικά είναι εντελώς λάθος η υπόθεση;

manos1992 · #11

κύριε Σωτήρη αν καταλαβαίνω σωστά την υπόθεση, και δεν έχω παρανοήσει τα δεδομένα, viewtopic.php?f=54&t=5699 δείτε τη δημοσίευση του κύριου Ροδόλφου..νομίζω βοηθάει..

giannispapav · #12

polysot έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2010 12:47 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
polysot έγραψε: <...> αυτή αποτυγχάνει διότι έχει όριο στο άπειρο f(x)/x άπειρο
Σωτήρη, το όριο στο άπειρο είναι 1.

Μ.
Εχεις δίκιο!!! Ευχαριστώ, δεν το πρόσεξα καλά...γεωμετρικά πάντως η γραφική της παράσταση ακολουθεί την y=x επίσης ! Θα μπορούσαμε συνεπώς να διατυπώσουμε ένα σχετικό συμπέρασμα της ιδέας ότι : "ακολουθεί μία οπτική πορεία παράλληλη με την y=mx" ή κάτι τέτοιο? Ξέρετε διαισθητικά - γεωμετρικά εννοώ. Ή μήπως τελικά είναι εντελώς λάθος η υπόθεση;

Παρ' ότι έχει παρέλθει πολύς καιρός θα κάνω μια απόπειρα να προσαρμόσω το διαισθητικό της φράσης: "ακολουθεί μία οπτική πορεία παράλληλη με την y=mx

" λέγοντας ότι η C_f

απέχει φραγμένη απόσταση από την ευθεία y=mx

για αρκετά μεγάλα

. Δηλαδή υπάρχουν M,N>0

τέτοια ώστε $|f(x)-mx|\leq M$ για κάθε $x\ge N$ .

Αν αυτή, λοιπόν, είναι μια ικανοποιητική απόδοση της διαισθητικής φράσης τότε η συνεπαγωγή $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}\Rightarrow \exists M,N>0:\ |f(x)-mx|\leq M\ \forall \ x\ge N$

είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα, για την $f(x)=\sqrt{x}$ έχουμε $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{x}=0$ ενώ $|\sqrt{x}-0\cdot x|\to +\infty$

Αν το φραγμένο της απόστασης των $C_f,\ y=mx$ δεν αρκεί μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}+\sin{x}$ ώστε εκτός από φραγμένη απόσταση να μην υπάρχει επιπλέον το όριο $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ .

[Σε έναν μετρικό χώρο

δύο (γεωδαισιακές) ακτίνες $\gamma,\gamma':[0,+\infty)\to X$ λέγονται ασυμπτωτικές αν $\sup\limits_{t}d(\gamma(t),\gamma'(t))<\infty$ . Η σχέση της ασυμπτωτικότητας μεταξύ των γεωδαισιακών ακτίνων είναι σχέση ισοδυναμίας και έτσι μπορεί να οριστεί το $\partial X$ ως το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας. Η έννοια της ασυμπτωτικότητας είναι νομίζω αυτή που εκφράζει διαισθητικά η φράση "ακολουθεί μια οπτική πορεία παράλληλη με την ..." εξού και η αντίστοιχη απόδοση που έδωσα για την περίπτωση συναρτήσεων $f:A\to\mathbb{R}$ όπου το $+\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης του

.]

Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.

#13

giannispapav έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 21, 2022 11:40 am
Αν αυτή, λοιπόν, είναι μια ικανοποιητική απόδοση της διαισθητικής φράσης τότε η συνεπαγωγή $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}\Rightarrow \exists M,N>0:\ |f(x)-mx|\leq M\ \forall \ x\ge N$

είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα, για την $f(x)=\sqrt{x}$ ...

......
Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.

Χάνω κάτι;

Το έχω ήδη απαντήσει αυτό στο ποστ #7 παραπάνω, με την συνάρτηση $f(x)= x+\sqrt x \sin x$ . Όπως αναφέρω εκεί, το |(x)-mx

| παίρνει αυθαίρετα μεγάλες τιμές, οπότε κaνένα

δεν μας κάνει.

giannispapav · #14

Χάνω κάτι;

Το έχω ήδη απαντήσει αυτό στο ποστ #7 παραπάνω, με την συνάρτηση $f(x)= x+\sqrt x \sin x$ . Όπως αναφέρω εκεί, το | παίρνει αυθαίρετα μεγάλες τιμές, οπότε κaνένα δεν μας κάνει.

Πράγματι, η $f(x)= x+\sqrt x \sin x$ (η οποία μου διέφυγε καθώς διάβαζα τα προηγούμενα ποστ) αποτελεί και αυτή αντιπαράδειγμα.
Έγραψα τα προηγούμενα περισσότερο ως μια προσπάθεια να αποδώσω αυστηρότερα τη διαισθητική φράση του polysot αφού θεώρησα ότι είχε μείνει αναπάντητη η τελευταία του ερώτηση (χωρίς βέβαια να ισχυρίζομαι ότι η απάντησή μου είναι εντελώς ικανοποιητική).

#15

giannispapav έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 21, 2022 12:17 pm

μια προσπάθεια να αποδώσω αυστηρότερα τη διαισθητική φράση του polysot

Όντως πολύ χρήσιμο που είδαμε με αυστηρή Μαθηματική γλώσσα μία διαισθητική διατύπωση.

Ευχαριστούμε.

Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Re: Παρατήρηση στις ασύμπτωτες.

Μέλη σε σύνδεση