Ολα στην ευθεία

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω Ευκλείδιος χώρος

(δηλαδή διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο πάνω στο $\mathbb{R}$ )

Για το $a\in X,a\neq 0$

και τα $x,y\in X$
έχουμε

$\left \| x \right \|+\left \| y \right \|=\left \| x+a \right \|+\left \| y+a \right \|=\left \| x-a \right \|+\left \| y-a \right \|$

Να αποδειχθεί ότι x=ka,y=-ra,

η ανάποδα ,όπου $r,k\in \mathbb{R},k,r\geq 1$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Διορθώθηκε η εκφώνηση.
Ζητώ συγνώμη από αυτούς που πιθανόν ασχολήθηκαν.

#3

Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα

,

παράγουν ένα υπόχωρο

του

το πολύ διάστασης

ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον $\mathbb{R}^3$ , τον $\mathbb{R}^2$ ή και τον $\mathbb{R}$ .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα

,

να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο

είναι ισομετρικός με τον $\mathbb{R}^3$ και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον $\mathbb{R}^3$ με $\vec{x}$ , $\vec{y}$ , $\vec{a}$ που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:

: linear.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 2122 φορές

Από τις υποθέσεις έχουμε ότι $PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1)$ .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των $\vec{y}$ , $\vec{a}$ γύρω από την ευθεία του $\vec{a}$ μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των $\vec{x}$ , $\vec{a}$ καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:

: linear1.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 2122 φορές

όπου ισχύει πάλι η (1)

. Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη SQT

έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων SPT

,

ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα SPT

,

ανήκει το

. Επομένως αποκλείεται dimV=3

.
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης

. Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και x=pa

,

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Την ίδια απόδειξη είχα και εγώ.
Βέβαια επειδή στην ουσία το πρόβλημα είναι στο επίπεδο υπάρχει και η απόδειξη
του Μιχάλη στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 20&t=64853

Σε χώρους με νόρμα δεν ισχύει.

Αν πάρουμε τον

$\mathbb{R}^{2},\left \| . \right \|_{\infty }$
και

x=(2,0),y=(2,1),a=(0,1)

εύκολα βλέπουμε ότι δεν ισχύει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον $\mathbb{R}^3$ , τον $\mathbb{R}^2$ ή και τον $\mathbb{R}$ .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον $\mathbb{R}^3$ και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον $\mathbb{R}^3$ με $\vec{x}$ , $\vec{y}$ , $\vec{a}$ που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι $PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1)$ .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των $\vec{y}$ , $\vec{a}$ γύρω από την ευθεία του $\vec{a}$ μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των $\vec{x}$ , $\vec{a}$ καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
$\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|$
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839

Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα S,T

να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η

.
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του

ως προς την

και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 am

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον $\mathbb{R}^3$ , τον $\mathbb{R}^2$ ή και τον $\mathbb{R}$ .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον $\mathbb{R}^3$ και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον $\mathbb{R}^3$ με $\vec{x}$ , $\vec{y}$ , $\vec{a}$ που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι $PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1)$ .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των $\vec{y}$ , $\vec{a}$ γύρω από την ευθεία του $\vec{a}$ μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των $\vec{x}$ , $\vec{a}$ καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
$\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|$
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η .
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς την και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.

Υπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των PRT

ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των PRS

, Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των PRT

με το ημιεπίπεδο των PRS

η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των PRS

, Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 9:01 am

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
Σταύρο και λοιποί φίλοι καλησπέρα
Τα , , παράγουν ένα υπόχωρο του το πολύ διάστασης ο οποίος είναι (γραμμικά) ισομετρικός (ανάλογα με την διάσταση του) με τον $\mathbb{R}^3$ , τον $\mathbb{R}^2$ ή και τον $\mathbb{R}$ .
Αρχικά θα αποκλείσουμε το ενδεχόμενο τα , , να είναι ανεξάρτητα. Αν είναι τότε ο είναι ισομετρικός με τον $\mathbb{R}^3$ και μπορούμε να συμβολίσουμετις εικόνες τους στον $\mathbb{R}^3$ με $\vec{x}$ , $\vec{y}$ , $\vec{a}$ που απεικονίζονται στο επόμενο σχήμα:
linear.png
Από τις υποθέσεις έχουμε ότι $PS+PT=QS+QT=RS+RT\,\,\,\,\,\,(1)$ .
περιστρέφοντας ημιεπίπεδο των $\vec{y}$ , $\vec{a}$ γύρω από την ευθεία του $\vec{a}$ μέχρις ότου να συμπέσει με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των $\vec{x}$ , $\vec{a}$ καταλήγουμε στο επίπεδο σχήμα:
linear1.png
όπου ισχύει πάλι η . Όμως (αποτελεί σχολική άσκηση στην τριγωνική ανισότητα) η τεθλασμένη έχει οπωσδήποτε μήκος μικρότερο τουλάχιστον ενός εκ των μηκών των τεθλασμένων , ανάλογα σε ποιο από τα τρίγωνα , ανήκει το . Επομένως αποκλείεται .
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης . Άρα τα τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά και , . Αντικαθιστώντας στην υπόθεση έχουμε την
$\left| p\right| +\left| q\right| =\left| 1+p\right| +\left| 1+q\right| =\left| 1-p\right| +\left| 1-q\right|$
Το συμπέρσμα έπεται από την επεξεργασία που υπάρχει εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 27&t=64839
Υπάρχει ένα προβληματάκι .
Στο δεύτερο σχήμα μπορεί τα να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η .
Σε αυτή την περίπτωση παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς την και επειδή οι αποστάσεις
δεν αλλάζουν καταλήγουμε στο σχήμα.
Υπάρχουν δύο δυνατές περιστροφές του ημιεπιπέδου των ώστε να βρεθεί στο επίπεδο των , Η μία ταυτίζει το ημιεπίπεδο των με το ημιεπίπεδο των η άλλη με το αντικείμενο ημιεπίπεδο των , Επιλέγουμε την δεύτερη. Το δεύτερο σχήμα αφορά αυτή την περίπτωση. Υπάρχει κάτι που δεν βλέπω;

Γεια σου Νίκο.
Αν ξεκινήσουμε από τον $\mathbb{R}^3$ τότε πάντα μπορούμε να πάμε στο σχήμα
που έχεις.
Αν όμως είμαστε στον $\mathbb{R}^2$ τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:47 pm
Αν όμως είμαστε στον $\mathbb{R}^2$ τότε μπορεί τα σημεία να είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο.
Για αυτό τον λόγο το έγραψα.
Βέβαια πάλι μπορούμε να στρίψουμε και να πάμε στο σχήμα σου.
Στην ουσία να κάνουμε συμμετρία.

Σταύρο τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Μιλάς για την περίπτωση που δεν ανέπτυξα:

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 7:21 pm
..
με ανάλογο συλλογισμό αποκλείεται και η περίπτωση της διάστασης .

Ολα στην ευθεία

Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Re: Ολα στην ευθεία

Μέλη σε σύνδεση