Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Tolaso J Kos · #1

Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$

Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$ .
Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )}$ για κάθε $\displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}$ .
Να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}$ .

Θέμα Β Θεωρούμε το πολυώνυμο $f(x)=x^3-px^2+(p+1)x + 1 \in \mathbb{R}[x]$ και έστω $\gamma_1 \; , \; \gamma_2 \; , \; \gamma_3 \in \mathbb{C}$ οι ρίζες αυτού.

Να προσδιοριστεί το $p \in \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3 = \frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}}$ .
Να δειχθεί ότι $x^2-1 \nmid f$ διά κάθε $p \in \mathbb{R}$ .
Για να υπολογιστεί η παράσταση $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$ και να δειχθεί ότι η έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Θέμα Γ Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R} \setminus [-3, 0] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) = \ln \left (1+ \frac{3}{x} \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \quad x \in \mathbb{R} \setminus [-3, 0]}$

Να δειχθεί ότι στο $(-\infty, -3)$ η είναι κοίλη.
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left ( f(1)+f(2) + \cdots + f(n) - \ln \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{6} \right )}$ .
Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (2, 3)$ τέτοιο ώστε $\left ( \xi -2 \right )f'(\xi) + f(\xi) = \ln 2$ .

Θέμα Δ θεωρούμε τις συναρτήσεις $f, g:[1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x)=\ln x + \frac{1}{x}}$ και $\displaystyle{g(x)=(x+1) \ln x - x + 1}$ .

Να δειχθεί ότι η είναι μία παράγουσα της .
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_1^e f(x) \, \mathrm{d}x$ .
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_1^3 f(x) g(x) \, \mathrm{d}x$ .

papamixalis · #2

Καλησπέρα Απόστολε

Μια λύση για το Γ

Θέμα Γ:

Η f(x)

γράφεται σαν $f(x)=ln(\dfrac{x+3}{x})=ln(x+3)-lnx$

α) $f'(x)=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x}$ και $f''(x)=\dfrac{-1}{(x+3)^2}+\dfrac{1}{x^2}$
$f''(x)=\dfrac{3(2x+3)}{x^2(x+3)^2} < 0$ για κάθε x<-3

Άρα η

είναι κοίλη για x<-3

EDIT: Η παραπάνω λύση είναι λανθασμένη αφού όπως σωστά επισήμανε ο kfd η συνάρτηση που θεώρησα δεν έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με αυτή της εκφώνησης. Την αφήνω για παραδειγματισμό και αποφυγή και παραθέτω την σωστή. Στα επόμενα ερωτήματα δεν έχουμε τέτοιο θέμα αφού οι τιμές της

είναι θετικές.
Οπότε κατά τα γνωστά αν παραγωγίσουμε την αρχική

προκύπτει $f'(x)=\dfrac{-3}{x^2+3x}$ και $f''(x)=\dfrac{3(2x+3)}{(x^2+3x)^2}<0$ για x<-3

οπότε

κοίλη στο διάστημα αυτό.

β) Παρατηρούμε ότι
$f(1)+f(2)+...+f(n)= \n ln4-ln1+ln5-ln2+ln6-ln3+ln7-ln4+...+lnn- ln(n-3)+ln(n+1)-ln(n-2)+ln(n+2)-ln(n-1)+ln(n+3)-ln(n)=-ln2-ln3+ln(n+1)+ln(n+2)+ln(n+3)= \n ln((n+1)(n+2)(n+3))-ln6$

Άρα $l=\lim_n \rightarrow +\infty (n*(ln(n+1)(n+2)(n+3)-ln6-ln(n(n+1)(n+2))+ln6)=n*ln(\dfrac{n+3}{n}))\rightarrow 3$

γ) Θεωρώ h(x)=(x-2)f'(x)+f(x)-ln2

συνεχής στο (2,3)

$h(3)=f'(3)+f(3)-ln2=\dfrac{-1}{6}+ln(6)-ln(3)-ln(2)<0$
οπότε από Bolzano έπεται το ζητούμενο

Φιλικά,
Μιχάλης

kfd · #3

H

δεν έχει ίδιο ΠΟ με την f.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

kfd έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 9:56 pm
H δεν έχει ίδιο ΠΟ με την f.

Και λοιπον;
Έγραψε κανένας ότι έχει το ίδιο πεδίο ορισμου;

συμπλήρωμα.
Λάθος σχόλιο.Είναι ουσιαστικό .Γιατί ενώ η αρχική συνάρτηση ορίζεται για κάποια αρνητικά αυτή η μορφή δεν ορίζεται για κανένα

Tolaso J Kos · #5

papamixalis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 8:43 pm
Καλησπέρα Απόστολε

Μια λύση για τα Γ,Δ

Θέμα Γ:

Η γράφεται σαν $f(x)=ln(\dfrac{x+3}{x})=ln(x+3)-lnx$

Η αλήθεια είναι πως και μένα δε μου κάθεται καλά αυτό. Αυτό ισχύει όταν x>0

όταν

αυτή η ισότητα δε μπορεί να ισχύει. Βέβαια εύκολα το διευθετούμε.

papamixalis · #6

Ναι πολύ σωστά

Θα το διορθώσω μόλις γυρίσω σπίτι.
Νομίζω το β και το γ δεν έχουν θέμα παραμόνο το α

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:25 pm

Θέμα Β Θεωρούμε το πολυώνυμο $f(x)=x^3-px^2+(p+1)x + 1 \in \mathbb{R}[x]$ και έστω $\gamma_1 \; , \; \gamma_2 \; , \; \gamma_3 \in \mathbb{C}$ οι ρίζες αυτού.

Να προσδιοριστεί το $p \in \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3 = \frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2} + \frac{1}{\gamma_3}}$ .

Να δειχθεί ότι $x^2-1 \nmid f$ διά κάθε $p \in \mathbb{R}$ .

Για να υπολογιστεί η παράσταση $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2$ και να δειχθεί ότι η έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

i Από Vieta και κάνοντας τις πράξεις έχουμε
ότι
$p=\frac{p+1}{-1}$
Αρα είναι
$p=-\frac{1}{2}$

ii $f(1)=3\neq 0$

Αρα το x-1

δεν διαιρεί το f(x)

οπότε και

$x^2-1 \nmid f$ διά κάθε $p \in \mathbb{R}$

iiiΑπό Vieta προκύπτει ότι $\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2=1^{2}-2.2=-3$

Αρα δεν μπορεί να έχει τρεις πραγματικές ρίζες.

Επειδή έχει τρεις ρίζες και αν έχει μια μιγαδική έχει και την συζυγή της έχει ακριβώς δύο μιγαδικές
και ακριβώς μια πραγματική.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:25 pm
Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$

Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$ .

Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )}$ για κάθε $\displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}$ .

Να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #9

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:25 pm

Θέμα Δ θεωρούμε τις συναρτήσεις $f, g:[1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x)=\ln x + \frac{1}{x}}$ και $\displaystyle{g(x)=(x+1) \ln x - x + 1}$ .

Να δειχθεί ότι η είναι μία παράγουσα της .

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_1^e f(x) \, \mathrm{d}x$ .

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\bigintsss_1^3 f(x) g(x) \, \mathrm{d}x$ .

Δίδουμε μία λύση σε αυτό ...

(α) Αρκεί να δειχθεί ότι g'=f

. Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) &= \left ( (x+1) \ln x -x +1 \right )' \\ &=\ln x + \frac{x+1}{x} -1 \\ &=\ln x +1 + \frac{1}{x} -1 \\ &= \ln x + \frac{1}{x} \\ &=f(x) \end{aligned}}$
(β) Είναι $\displaystyle{\int_{1}^{e} f(x) \, \mathrm{d}x = \left [ g(x) \right ]_1^e = g(e) - g(1) = 2}$ .

(γ) Επειδή g'=f

έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{3} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x &= \int_{1}^{3} g'(x) g(x) \, \mathrm{d}x =\frac{1}{2} \int_{1}^{3} 2g'(x) g(x) \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \left [ g^2(x) \right ]_1^3 \\ &= \frac{1}{2} \left [ g^2(3) - g^2(1) \right ]\\ &= \frac{\left ( 4 \log 3-2 \right )^2}{2} \\ &= 2+ 8 \log^2 3 -8 \log 3 \end{aligned}}$
Κάνουμε λοιπόν ολοκληρωτικό λογισμό ... μόνο με τα βασικά.. χωρίς να ξέρουμε τεχνικές.

#10

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:25 pm
Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$

Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$ .

Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )}$ για κάθε $\displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}$ .

Να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}$ .

Πολύ προχωρημένο το βρίσκω, ειδικά σε σύγκριση π.χ. με το Δ.

Γνωρίζουμε την ύλη τους; Για ποιες σχολές είναι οι εξετάσεις αυτές;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 12:18 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:25 pm
Θέμα Α Έστω συνάρτηση $A:\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_{2 \times 2} (\mathbb{R})$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{A(x) = \begin{bmatrix} 1+5x &-2x \\ 10x & -4x+1 \end{bmatrix}}$

Να υπολογιστεί το $\left ( A(1) - \mathbb{I}_{2 \times 2} \right )^2$ .

Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{A(x)A(y) = A\left ( x+y+xy \right )}$ για κάθε $\displaystyle{x , y \in \mathbb{R}}$ .

Να υπολογιστεί το γινόμενο $\displaystyle{\Pi =A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}$ .

Θέμα που δείχνει την διαφορά μας από τους Ρουμάνους .Τα δύο πρώτα είναι πράξεις.Ρουτίνας μεν αλλά πράξεις.Το τρίτο μπορεί να αντιμετωπισθεί με διαγωνοποίηση του πίνακα(δεν νομίζω να θέλουν αυτή την λύση )
η
αποδεικνύοντας με επαγωγή χρησιμοποιώντας το δεύτερο την σχέση

$A(x_{1}).A(x_{2})....A(x_{n})=A((x_{1}+1).(x_{2}+1)....(x_{n}+1)-1)$

Αν δουλέψουμε με διαγωνοποίηση τότε βρίσκοντας ιδιοτιμές ιδιοδιανύσματα έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{A(x) =P \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & x+1 \end{bmatrix}}P^{-1}}$

οπου $P=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}}$

Ας το δούμε με πιο στοιχειώδη μέσα.

Είναι

$\displaystyle{\displaystyle{A(x) = I+x\begin{bmatrix} 5 &-2 \\ 10 & -4 \end{bmatrix}}=I+xB}$

Εύκολα βλέπουμε ότι $B^{2}=B$

I) $(A(1)-I)^{2}=B^{2}=B$

ii) $A(x)A(y)=(I+xB)(I+yB)=I+(x+y)B+xyB^{2}=I+(x+y+xy)B=A(x+y+xy)$

iii)Λόγω της σχέσης

$(x_{1}+1)....(x_{n}+1)-1+x_{n+1}+x_{n+1}((x_{1}+1)....(x_{n}+1)-1)=(x_{1}+1)....(x_{n+1}+1)-1$

επαγωγικά αποδεικνύεται ότι

$A(x_{1}).A(x_{2})....A(x_{n})=A((x_{1}+1).(x_{2}+1)....(x_{n}+1)-1)$

ετσι είναι

$A(1)A(2)\cdots \cdot A(2019)}=A(2020!-1)$

Συμπλήρωμα.
Εγινε διόρθωση στον πίνακα

στην διαγωνοποίηση.
Ευχαριστώ τον Μιχάλη Λάμπρου που το παρατήρησε.

Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Re: Εισαγωγικές Εξετάσεις Ρουμανία

Μέλη σε σύνδεση