IMC 2019

Συντονιστής: Demetres

sot arm
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

IMC 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Ιούλ 30, 2019 4:27 pm

Χαιρετώ από το γνωστό μέρος(Μπλαγκοεβγκραντ) , σήμερα ήταν η πρώτη μερα του διαγωνισμού. Επισυνάπτω και τα θέματα.



imc2019-day1-questions.pdf
(92.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 175 φορές


Αρμενιάκος Σωτήρης

Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: IMC 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Ιούλ 30, 2019 4:43 pm

Καλή επιτυχία στα παιδιά!!! Το τρίτο θέμα νομίζω είναι ότι πρέπει για πανελλήνιες :D


sot arm
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: IMC 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τετ Ιούλ 31, 2019 3:03 pm

Ακολουθουν και τα σημερινά:
imc2019-day2-questions.pdf
(90.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 105 φορές


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: IMC 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm

Hello world
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Τετ Ιούλ 31, 2019 8:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4330
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 31, 2019 5:25 pm

Το γινόμενο πάντως που είναι πρόβλημα 1 στη μέρα 1 δε το λες και εύκολο. Προϊδεάζεσαι βέβαια εκ των προτέρων ότι μάλλον θα τηλεσκοπεί αλλά για να το φέρεις στη μορφή αυτή θέλει λίγη δουλίτσα.

Να υπολογιστεί το γινόμενο: \displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left ( n^3+3n \right )^2}{n^6-64}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 31, 2019 5:37 pm

JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Δεν νομίζω.
Για Darboux το κόβω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4330
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 31, 2019 5:40 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:37 pm
JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Δεν νομίζω.
Για Darboux το κόβω.
Με μία γρήγορη ματιά μάλλον συμφωνώ με το Σταύρο. Δε το κοίταξα αλλά Bolzano δε βλέπω πώς θα εφαρμοστεί ...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 31, 2019 6:03 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:25 pm
Το γινόμενο πάντως που είναι πρόβλημα 1 στη μέρα 1 δε το λες και εύκολο. Προϊδεάζεσαι βέβαια εκ των προτέρων ότι μάλλον θα τηλεσκοπεί αλλά για να το φέρεις στη μορφή αυτή θέλει λίγη δουλίτσα.

Να υπολογιστεί το γινόμενο: \displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left ( n^3+3n \right )^2}{n^6-64}}
Ο αριθμητής γράφεται n^2(n^2+3)^2 και ο παρονομαστής (n^3-8)(n^3+8)=(n-2)(n^2+2n+4)(n+2)(n^2-2n+4). Άρα ο τυπικός όρος είναι

\displaystyle{ \frac {n}{n-2}\cdot \frac {n^2+3}{n^2+2n+4} \cdot \frac {n}{n+2}\cdot \frac {n^2+3}{n^2-2n+4} = \frac {n}{n-2}\cdot \frac {n^2+3}{(n+1)^2+3} \cdot \frac {n}{n+2}\cdot \frac {n^2+3}{(n-1)^2+3}}.

Τώρα βλέπουμε ότι ο κάθε παράγοντας του τυπικού όρου, χωριστά, οδηγεί σε τηλεσκοπικό γινόμενο. Συγκεκριμένα, το γινόμενο από 3 έως N των πρώτων παραγόντων εκάστου κλάσματος δίνει τηλεσκοπικά \dfrac {(N-1)N}{1\cdot 2}. Των δεύτερων δίνει \dfrac {3^2+3}{(N+1)^3+3} και κάτι ανάλογο οι άλλοι δύο όροι. Τα υπόλοιπα άμεσα, παίρνοντας όριο N \to \infty. Απάντηση: \dfrac {3\cdot 4 \cdot (3^2+3)}{1\cdot 2 \cdot (2^2+3)}.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: IMC 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm

JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Νομιζω δεν ξέρουμε αν η h(x)=f(x)-g'(x) είναι συνεχής.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: IMC 2019

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τετ Ιούλ 31, 2019 6:57 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm
JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Νομιζω δεν ξέρουμε αν η h(x)=f(x)-g'(x) είναι συνεχής.
Δεν το γνωρίζεις πράγματι, μπορεί να μην είναι καν ολοκληρωσιμη κατα Riemman.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 31, 2019 7:10 pm

Γράφω την λύση αφού φυσικά γράψω και την εκφώνηση του 1 θέματος της δεύτερης μέρας.

Εκφώνηση.
Δίνονται f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
με fσυνεχή και g παραγωγίσημη.
Αν (f(0)-g'(0))(g'(1)-f(1))> 0
να δειχθεί ότι υπάρχει c\in (0,1)
με g'(c)=f(c)

Λύση.
Θέτουμε q(x)=g(x)-\int_{0}^{x}f(t)dt
είναι q'(x)=g'(x)-f(x)
Αλλά q'(0)q'(1)=(g'(0)-f(0))(g'(1)-f(1))< 0
Από Darboux υπάρχει c\in (0,1)
με q'(c)=0 που είναι η ζητούμενη.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2019

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 31, 2019 11:51 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:25 pm
Να υπολογιστεί το γινόμενο: \displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \frac{\left ( n^3+3n \right )^2}{n^6-64}}
Αλλιώς. Πάλι τηλεσκοπικά αλλά με χρήση μιγαδικών (μέθοδο που δεν έχω ξαναδεί αν και ουσιαστικά πρόκειται για τετριμμένη παραλλαγή γνωστών).

Ο αριθμητής γράφεται n^2(n^2+3)^2=n^2(n+i\sqrt 3)^2(n-i\sqrt 3)^2 και ο παρονομαστής

(n^2-4)(n^4+4n^2+16)=(n-2)(n+2)(n^2+2n+4)(n^2-2n+4)=
=(n-2)(n+2)(n+1+i\sqrt 3)(n+1-i\sqrt 3)(n-1+i\sqrt 3)(n-1-i\sqrt 3).

Άρα το γινόμενο των όρων από 3 έως N είναι

\displaystyle{ \prod_{n=3}^{N} \left (\frac{n}{n-2} \cdot \frac{n}{n+2}\cdot \frac {n+i\sqrt 3} {n+1+i\sqrt 3}\cdot \frac {n-i\sqrt 3} {n+1-i\sqrt 3} \cdot\frac {n+i\sqrt 3} {n-1+i\sqrt 3} \cdot\frac {n-i\sqrt 3} {n-1-i\sqrt 3} \right ) }

Τώρα ο κάθε παράγοντας του γενικού όρου, χωριστά, οδηγεί σε τηλεσκοπικό γινόμενο (άμεσο). Και λοιπά.

Σχόλιο. Ας προσθέσω ότι μπορούμε να αποφύγουμε τα τηλεσκοπικά γινόμενα αν χρησιμοποιήσουμε παραγοντικά (ή την άμεση γενίκευσή τους, τις συναρτήσεις \Gamma με την ιδιότητα \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)). Συγκεκριμένα οι δύο πρώτοι παράγοντες μαζί δίνουν

\displaystyle{ \prod_{n=3}^{N} \frac{n^2}{(n-2)(n+2)}= \frac {3^2\cdot 4^2 \cdot ... \cdot N^2 }{(1\cdot 2 \cdot ... \cdot (N-2))(5\cdot 6 \cdot ... \cdot (N+2))}=\dfrac {(\frac {1}{2} N!)^2}{(N-2)! \cdot \frac {1}{24} (N+2)!}= \dfrac {6N!N!}{(N-2)!(N+2)!} το οποίο απλοποιείται με τον προφανή τρόπο. Όμοια οι άλλοι παράγοντες, αλλά με χρήση της \Gamma και τις αντίστοιχες προφανείς απλοποιήσεις.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8467
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 01, 2019 1:57 am

Καλές επιτυχίες! Λείπω αυτές τις μέρες σε συνέδριο στη βροχερή :furious: Αγγλία και δεν είχα χρόνο ακόμη να κοιτάξω προσεκτικά τα προβλήματα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4330
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Αύγ 01, 2019 10:43 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 11:51 pm
Σχόλιο. Ας προσθέσω ότι μπορούμε να αποφύγουμε τα τηλεσκοπικά γινόμενα αν χρησιμοποιήσουμε παραγοντικά (ή την άμεση γενίκευσή τους, τις συναρτήσεις \Gamma με την ιδιότητα \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)). Συγκεκριμένα οι δύο πρώτοι παράγοντες μαζί δίνουν

\displaystyle{ \prod_{n=3}^{N} \frac{n^2}{(n-2)(n+2)}= \frac {3^2\cdot 4^2 \cdot ... \cdot N^2 }{(1\cdot 2 \cdot ... \cdot (N-2))(5\cdot 6 \cdot ... \cdot (N+2))}=\dfrac {(\frac {1}{2} N!)^2}{(N-2)! \cdot \frac {1}{24} (N+2)!}= \dfrac {6N!N!}{(N-2)!(N+2)!} το οποίο απλοποιείται με τον προφανή τρόπο. Όμοια οι άλλοι παράγοντες, αλλά με χρήση της \Gamma και τις αντίστοιχες προφανείς απλοποιήσεις.

Η τεχνική αυτή μου είναι γνωστή αλλά γενικά την αποφεύγω. Πάντως κάπου την έχουμε ξανά δει στο :logo: . Καλό μήνα!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2019

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 01, 2019 11:24 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Αύγ 01, 2019 10:43 am
Η τεχνική αυτή μου είναι γνωστή αλλά γενικά την αποφεύγω. Πάντως κάπου την έχουμε ξανά δει στο :logo: . Καλό μήνα!
Τόλη,

Αυτό που σημείωσα ως νέο στο προηγούμενο μήνυμά μου δεν είναι το εν λόγω σημείο αλλά η χρήση μιγαδικών. Το πλεονέκτημά των μιγαδικών είναι ότι διευθετεί σημεία όπως
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:25 pm
Το γινόμενο πάντως που είναι πρόβλημα 1 στη μέρα 1 δε το λες και εύκολο. Προϊδεάζεσαι βέβαια εκ των προτέρων ότι μάλλον θα τηλεσκοπεί αλλά για να το φέρεις στη μορφή αυτή θέλει λίγη δουλίτσα.
Για να διευκρινίσω τι εννοώ. Η κλασσική μέθοδος τηλεσκοπίας έχει το μειονέκτημα ότι χρειάζεται επινοητικότητα για να το φέρεις στην μορφή ώστε να γίνεται η απλοποίηση των διαδοχικών όρων. Υποθέτω ότι αυτό ακριβώς εννοείς όταν λες "θέλει λίγη δουλίτσα". Όμως με την παραγοντοποίηση σε πρωτοβάθμιους μιγαδικούς (θέμα ρουτίνας αν ξέρεις να λύνεις χαμηλόβαθμες πολυωνυμικές), η τηλεσκοπία είναι αυτόματη. Οι όροι που απλοποιούνται είναι ορατοί, και βγαίνουν μόνοι τους.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2019

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Αύγ 02, 2019 5:51 pm

3, 5, 9 παραείναι εύκολα για τη θεση τους. 6, 7 παραείναι ευκολα για το διαγωνισμο γενικά (έπρεπε να μπει μονο 1 εκ των 2). Κατ' εμέ χρειάζεται να υπαρχει και στην Ευρωπη ένας φοιτιτικος διαγωνισμος υψηλού κύρους, οπως είναι ο πατναμ στην Αμερική, αλλά αυτο προϋποθέτει καλύτερο evaluatiοn στη δυσκολία. Η αύξηση των εύκολων θεμάτων και του ποσοστού των μεταλλίων τα τελευταία χρονια (μονο πέρσι ηταν κάπως πιο οκ τα θέματα αν θυμάμαι καλά), δυστυχώς δεν βοηθάει ιδιαίτερα.

Ιδανικά, στο 1 έπρεπε να είναι το 7, στο 2 το 1, στο 3 το 9, στο 5 κάτι ιδιαίτερα δύσκολο που να θέλει δουλειά, στα 6 και 7 το 2 και κάτι δυσκολοτερο αντίστοιχα (ή έστω τα 3 και 2 αντίστοιχα), και στο 9 ξανά κάτι ιδιαίτερα δύσκολο.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: IMC 2019

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Αύγ 02, 2019 10:32 pm

Συγχαρητήρια και στα 3 παλικάρια!!! 1 χρυσό και 2 αργυρά για την ελληνική ομάδα στις 3 συμμετοχές νομίζω είναι πάρα πολύ καλά!!!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2019

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 03, 2019 2:33 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Παρ Αύγ 02, 2019 10:32 pm
Συγχαρητήρια και στα 3 παλικάρια!!! 1 χρυσό και 2 αργυρά για την ελληνική ομάδα στις 3 συμμετοχές νομίζω είναι πάρα πολύ καλά!!!
Τα παλικάρια δεν είναι 3.Είναι περισσότερα.
Επίσης στον διαγωνισμό αυτόν δεν δίνουν μετάλλια.
Μπορεί κάποιος να τα μετρήσει και να δει αναλυτικά τα αποτελέσματα
στα
https://www.imc-math.org.uk/?year=2019& ... item=bysum
(ατομικά)
https://www.imc-math.org.uk/?year=2019& ... tem=byteam
(κατά ομάδες)
https://www.imc-math.org.uk/?year=2019& ... tem=byuniv
(κατά πανεπιστήμιο)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2019

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 03, 2019 9:38 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά.

Ας μην περάσει απαρατήρητο ότι ένας από τους διακριθέντες στον διαγωνισμό είναι ο δικός μας Σωτήρης Αρμενιάκος.
Παρατηρώ ότι σε τρία θέματα ο Σωτήρης έχει πλήρη βαθμολογία (από 10 ζηλευτούς πόντους). Εύγε.
Σωτήρη, είμαι βέβαιος ότι τα μέλη μας θα χαιρόντουσαν να έβλεπαν εδώ τις λύσεις σου στις ασκήσεις που απεκόμισαν τα δεκάρια.

Θα χαρώ να μάθω αν υπάρχουν και άλλα μέλη μας που έλαβαν μέρος στον διαγωνισμό.

Και πάλι, εύγε σε όλους.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 314
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: IMC 2019

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Αύγ 03, 2019 12:11 pm

Μπράβο σε όλους :clap2: :clap2: :coolspeak:
"Δικός" μας είναι και ο Προδρομίδης (jason.prod)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες