IMC 2019/1/3
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2019/1/3
Έστω μια δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε
για κάθε . Να αποδειχθεί ότι
για κάθε . Να αποδειχθεί ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2019/1/3
Θέτουμε . Παρατηρούμε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με .
Από Θεώρημα Taylor για κάθε υπάρχει μεταξύ του και του ώστε
Επειδή επίσης , από τα πιο πάνω παίρνουμε για κάθε . Άρα
Από Θεώρημα Taylor για κάθε υπάρχει μεταξύ του και του ώστε
Επειδή επίσης , από τα πιο πάνω παίρνουμε για κάθε . Άρα
Re: IMC 2019/1/3
Έχω μια απορία:
Η f δεν θα έπρεπε να είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα;
Και αν όχι,γιατί;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2019/1/3
Όχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους'' .
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.
Re: IMC 2019/1/3
Ευχαριστώ για την εξήγησηΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Οκτ 22, 2019 7:24 pmΌχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους'' .
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.
Αναρωτιέμαι πως αυτή η άσκηση μπορεί να λυθεί με γνώσεις Γ'Λυκειου
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMC 2019/1/3
Ναι κατά κάποιο τρόπο μπορεί.petrosqw έγραψε: ↑Τρί Οκτ 22, 2019 9:18 pmΕυχαριστώ για την εξήγησηΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Οκτ 22, 2019 7:24 pmΌχι δεν θα έπρεπε.
Είμαστε σε φάκελο πανεπιστημίου.
Αλλά θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Το ολοκλήρωμα Riemman εκφράζει ''εμβαδό''.
Αν λοιπόν αλλάξουμε την τιμή μιας συνάρτηση σε ένα σημείο
το ''εμβαδό'' της γραφικής της παράστασης δεν αλλάζει .
Το ίδιο συμβαίνει και για πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Ετσι οι τιμές στα άκρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε.
Εδώ βέβαια τα πράγματα είναι χειρότερα γιατί η συνάρτηση μπορεί να μην είναι φραγμένη στα άκρα
οπότε θα έχουμε γενικευμένο Riemman.
Αν πάρουμε ολοκλήρωμα Lebesgue που είναι πιο πλήρες από του Riemman και κυρίως χρησιμοποιείται στα
Μαθηματικά τότε το ολοκλήρωμα δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ένα σύνολο
''μήκους'' .
π.χ μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές σε όλα τα ρητά σημεία που ορίζεται η συνάρτηση.
Ελπίζω να σε κάλυψα ,και σίγουρα σε προβλημάτισα.
Αναρωτιέμαι πως αυτή η άσκηση μπορεί να λυθεί με γνώσεις Γ'Λυκειου
Ισχύει το εξής:
Αν
είναι μια συνάρτηση ώστε
τότε
Το παραπάνω μπορει να αποδειχθεί με σχολικά μέσα.
Εχουμε ότι
Αν λοιπόν θέσουμε
τότε λόγω του παραπάνω είναι
που δίνει την ζητούμενη.
Να σημειώσω ότι κατά την γνώμη μου η ενδεδειγμένη λύση είναι του Δημήτρη.
Η δική μου περιέχει ακροβατικά που δεν φαίνονται.
Και φυσικά υπάρχουν προβλήματα του τύπου αν απειρίζεται στα άκρα τι γίνεται κλπ.
Η ουσία είναι ότι η άσκηση μπορεί αν διατυπωθεί κατάλληλα να αποδειχθεί
με καθαρά σχολικά μέσα.
Αυτό βέβαια δεν λέει τίποτα γιατί ερευνητικές εργασίες που λύνουν άλυτα προβλήματα
των Μαθηματικών στηρίζονται μόνο σε σχολικά μέσα.
Σε καμία περίπτωση όμως δεν είναι στο πνεύμα των σχολικών Μαθηματικών.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2019/1/3
Το κύριο μη σχολικό κομμάτι της απόδειξης είναι το πιο πάνω. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί σχολικά ως εξής:
Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο
Είναι άμεσο ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με και . [H κατασκευάστηκε ώστε να είναι της μορφής με δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ώστε να ισχύουν τα προηγούμενα.]
Αφού υπάρχει ώστε . Τώρα, αφού επίσης , υπάρχει ώστε . Τότε μετά από πράξεις παίρνουμε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες