Γωνία από εμβαδόν

KARKAR · #1

: Γωνία από εμβαδόν.png (4.94 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Το εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με $\dfrac{a^2}{8}$ . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία $\hat{C}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με $\dfrac{a^2}{8}$ . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία $\hat{C}$

Για την μικρότερη γωνία $\hat{C}$ ορθογωνίου τριγώνου, υπάρχει άσκηση του σχολικού: $\boxed{h_a=\frac {a}{4}\Leftrightarrow \widehat C = 15^\circ}$

Επεξεργασία: Τετάρτη 7 Αυγ 2019, 7:54 am

angvl · #3

$\displaystyle E = \frac{a^2}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} ba\sin C=\frac{a^2}{8} \Rightarrow \sin C = \frac{a}{4b}$

$\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B$

$\displaystyle \sin C = \frac{a}{4a \sin B} \Rightarrow \sin C \cdot \sin B = \frac{1}{4}$

$\displaystyle \angle B + \angle C = 90^0 \Rightarrow \sin C \cdot \cos C = \frac{1}{4} \Rightarrow$

$\displaystyle \frac{1}{2} \sin 2C=\frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2C=\frac{1}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle \sin 2C=\sin\frac{\pi}{6} \Rightarrow C=\frac{\pi}{12} \Rightarrow C=15^0$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με $\dfrac{a^2}{8}$ . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία $\hat{C}$

: Εμβαδόν και γωνία.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Ας είναι

το ύψος του τριγώνου ABC

. Θα έχω:

$(ABC) = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{{{a^2}}}{8} \Leftrightarrow h = \dfrac{a}{4}$ . Αν

το κέντρο του περιγεγραμμένου

ημικυκλίου διαμέτρου BC = a = 2R

θα είναι $\boxed{h = \dfrac{R}{2}}$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DOA

αναγκαστικά θα είναι $\widehat {AOD} = 30^\circ \Rightarrow 2\widehat C = 30^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat C = 15^\circ }$

#5

#6

Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.

angvl έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
$\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B$

Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε $\dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)= \dfrac {a^2}{4} \sin 2C$ . Άρα $\sin 2C = \dfrac {1}{2}$ , από όπου 2C=30 ^o

, ή αλλιώς C= 15^o

. Τελειώσαμε.

angvl · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 07, 2019 11:00 am
Σωστή η απόδειξη αλλά αρπάζω την ευκαιρία να σχολιάσω κάτι για όφελος του angvl.

angvl έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2019 9:29 pm
$\displaystyle \frac{b}{\sin B}=2R=a \Rightarrow b = a \sin B$
Το δεξί μέλος του παραπάνω είναι άμεσο από τον ορισμό του ημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο . Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω Νόμου ημιτόνων. Ξαναγράφω την λύση σου με πιο λιτό ύφος (κάτι που στα Μαθηματικά είναι πλεονέκτημα) ώστε να έχεις έναν μπούσουλα γραφής.

Έχουμε $\dfrac {a^2}{8} = E = \dfrac {1}{2} bc = \dfrac {1}{2} (a \cos C) (a\sin C)= \dfrac {a^2}{4} \sin 2C$ . Άρα $\sin 2C = \dfrac {1}{2}$ , από όπου , ή αλλιώς . Τελειώσαμε.

Η αλήθεια είναι ότι αυτό είχα στο μυαλό μου ,αλλά στην πορεία βγήκα λίγο εκτός δρόμου!

Ευχαριστώ κ.Λάμπρου! Πάντα οι υποδείξεις σας είναι εύστοχες και διδακτικές!!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 06, 2019 7:05 pm
Γωνία από εμβαδόν.pngΤο εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος ισούται με $\dfrac{a^2}{8}$ . Υπολογίστε την μικρότερη γωνία $\hat{C}$

$\displaystyle BCDE$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle a$

Με $\displaystyle P$ συμμετρικό του $\displaystyle B$ ως προς $\displaystyle AC \Rightarrow \left( {PBC} \right) = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \left( {OBC} \right) \Rightarrow PO//BC$

Έτσι, $\displaystyle PO$ μεσοκάθετος της $\displaystyle CD \Rightarrow DP = CP = \alpha \Rightarrow \angle DCP = {60^0} \Rightarrow 2C = {30^0} \Rightarrow \boxed{C = {{15}^0}}$

: Γωνία από εμβαδόν.png (24.68 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

KARKAR · #9

Της νύχτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και ... ζηλεύει

Μιχάλη

Γωνία από εμβαδόν

Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Re: Γωνία από εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση