Κυκλική ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Μία ιδιοκατασκευή :

Αν a,b,c>0

με

, να αποδείξετε ότι $a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leqslant 3$ .

min## · #2

Καλησπέρα.
Από Vasc (

) είναι $LHS=a^2b^2c^2(a^3b+b^3c+c^3a)\leq \frac{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$ και συνεπώς αρκεί $(a^2+b^2+c^2)abc\leq 3=\frac{(a+b+c)^5}{3^4}$ .Είναι απλό ότι αν $f(a,b,c)=(a+b+c)^5-3^4\cdot abc(a^2+b^2+c^2)$ ,θα ισχύει (Mixing (γίνεται και πιο σύντομα αλλά αυτό μου 'ρθε πρώτα )) πως $f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$ (καταλήγει στην $\frac{(b-c)^2(2a^2+(b-c)^2))}{8}\geq 0$ ) οπότε αρκεί να δειχτεί πως $f(a,t,t)\geq 0$ ή $((3-2t)^2+2t^2)(3-2t)t^2\leq 3$ το οποίο ανάγεται σε
$3(t-1)^2(4t^3-6t^2+2t+1)\geq 0$ που ισχύει αφού $4t^3-6t^2+2t+1= 2t^3+2(t^3+t)-6t^2+1\geq 2t^3-2t^2+1\geq t^2$ από AM-GM

harrisp · #3

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Καλησπέρα σε όλους!

Είναι από την συνθήκη $abc\leq 1$ και $2a^5b^3c^2=2(a^3b^3)(a^2c^2)\leq a^6b^6+a^4c^4$ από την $2xy\leq x^2+y^2$ .

Συνεπώς αρκεί
$\sum_{cyc} (a^6b^6+a^4c^4) \leq 6$ που είναι προφανής από ΑΜ-ΓΜ και χρήση της $abc\leq 1$

Η
$\sum_{cyc} (a^6b^6+a^4c^4) \leq 6$
δεν ισχύει.
Πάρε a=1,9,b=1,c=0,1

Μάλλον μπερδεύτηκες.
Η ανάποδη ισχύει .

Κυκλική ανισότητα!

Κυκλική ανισότητα!

Re: Κυκλική ανισότητα!

Re: Κυκλική ανισότητα!

Re: Κυκλική ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση