Δυσεξήγητο

KARKAR · #1

: Δυσεξήγητο.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Με κέντρο το άκρο

της διαμέτρου

, κύκλου

, γράφω μικρότερο κύκλο (K)

,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα A,B

. Από τυχόν σημείο

του

, φέρω την

, η

οποία τέμνει τον (K)

στο

. Η

τέμνει τον (O)

στο

. Δείξτε ότι : $LT = \parallel SP$ .

#2

: Δυσεξήγητο.png (36.96 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

1. Το $\vartriangle SAP$ ισοσκελές

2. $\widehat {SPA} = \widehat {SAP} = \widehat {SLT}\,\,(1)$

3. $\widehat {{a_1}} = \widehat T\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\alpha _3}} = \widehat {{\alpha _4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\alpha _1}} = \widehat {{\alpha _3}}$ ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) άρα : $\widehat T = \widehat {{\alpha _4}}\,\,\,(2)$

Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο SPTL

είναι παραλληλόγραμμο.

Παρατήρηση

Για το πρώτο ( σαν λήμμα)

: Δυσεξήγητο_Λήμμα.png (24.72 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Τα τρίγωνα $KAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KPS$ έχουν : $KA = KP\,\,$ , την

κοινή και $\widehat {{\xi _1}} = \widehat {{\xi _2}}$ (

εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα) και $\widehat \theta = \widehat \omega = \widehat \phi$ . Αναγκαστικά θα έχουν $\widehat {AKS} = \widehat {PKS}$

οπότε ( $\Pi ,\Gamma ,\Pi$ ) είναι ίσα άρα SA = SP

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 8:03 am
Δυσεξήγητο.pngΜε κέντρο το άκρο της διαμέτρου , κύκλου , γράφω μικρότερο κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα . Από τυχόν σημείο του , φέρω την , η

οποία τέμνει τον στο . Η τέμνει τον στο . Δείξτε ότι : $LT = \parallel SP$ .

: Δυσεξήγητο.png (24.23 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Η

τέμνει την

στο

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα TABL, TKBL

προκύπτει ότι οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Αλλά, $B\widehat KP=2B\widehat AP,$ οπότε $\displaystyle TH \bot BP \Leftrightarrow LT||BP.$ Ομοίως $\displaystyle LS||TP,$ άρα το TLSP

είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 8:03 am
Δυσεξήγητο.pngΜε κέντρο το άκρο της διαμέτρου , κύκλου , γράφω μικρότερο κύκλο ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα . Από τυχόν σημείο του , φέρω την , η

οποία τέμνει τον στο . Η τέμνει τον στο . Δείξτε ότι : $LT = \parallel SP$ .

Έστω $\displaystyle \left( K \right) \cap TB = E$ .Οι $\displaystyle LA,LB$ είναι εφαπτόμενες του κύκλου $\displaystyle \left( K \right)$ . Λόγω και των εγγράψιμου

$\displaystyle TABL$ οι γωνίες $\displaystyle x$ είναι ίσες όπως και οι $\displaystyle y$

Έτσι , $\displaystyle AE//BP$ $\displaystyle \Rightarrow TP = TB$ ,άρα η διχοτόμος $\displaystyle TK$ της $\displaystyle \angle BTA$ είναι κάθετη στην $\displaystyle AE$ ,συνεπώς $\displaystyle AE//TL//PS$

Επιπλέον,από το εγγράψιμο $\displaystyle LSBA \Rightarrow \angle S + x + y = {180^0} \Rightarrow \angle S + TPS = {180^0} \Rightarrow TP//LS$

Άρα $\displaystyle TPSL$ παραλ/μμο ,οπότε $\displaystyle SP = //TL$

: Δυσεξήγητο.png (41.39 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Δυσεξήγητο

Δυσεξήγητο

Re: Δυσεξήγητο

Re: Δυσεξήγητο

Re: Δυσεξήγητο

Μέλη σε σύνδεση