Ορισμένο ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{7}^{19} \sqrt{(x-7)(19-x)} \, \mathrm{d}x}$

nikos_el · #2

Για να αποφύγουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση:
Θέτοντας $y=\sqrt{\left(x-7\right)\left(19-x\right)}$ μετά από πράξεις βρίσκουμε $\left(x-13\right)^2+y^2=6^2$ , που παριστάνει κύκλο με κέντρο $K\left(13,0\right)$ και ακτίνα r=6

. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία $A\left(7,0\right)$ και $B\left(19,0\right)$ . Επομένως το δοθέν ολοκλήρωμα ισούται με το εμβαδόν του άνω ημικυκλίου του κύκλου $\left(K,r\right)$ . Άρα, $\displaystyle \mathcal{J}=\int_{7}^{19}\sqrt{\left(x-7\right)\left(19-x\right)}\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}r^2\Rightarrow \mathcal{J}=18\pi$ .

angvl · #3

Ας επιχειρήσω να κάνω την "χαμαλοδουλειά.."!

$\displaystyle J = \int_{7}^{19} \sqrt{(x-7)(19-x)}dx =\int_{7}^{19} \sqrt{-x^2+26x-133}dx=\int_{7}^{19} \sqrt{36-(x-13)^2}dx$

$\displaystyle [x-13 = y \wedge x = 7 \wedge x = 19 \wedge dx = dy ] \Rightarrow J = \int_{-6}^{6} (\sqrt{36-y^2})dy$

$\displaystyle [y=6\sin t \wedge y = -6 \wedge y=6 \wedge dy = (6\cos t) dt] \Rightarrow J =6 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t( \sqrt{36-36\sin^2 t}) dt$

$\displaystyle J = 36 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^2 t )dt=36\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2} dt=18\pi +18\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin 2t}{2})'dt = 18\pi +0 = 18\pi$

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση