Άρρητη εξίσωση

angvl · #1

Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι $\displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}$ .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το $\displaystyle A = \Re$ . Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \Re$ ισχύει:

$\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1$ .

$\displaystyle (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} = (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με τη ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1$ Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

angvl έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι $\displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}$ .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το $\displaystyle A = \Re$ . Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \Re$ ισχύει:

$\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1$ .

$\displaystyle (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} = (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με τη ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1$ Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?

Η εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.
Θέτοντας $t=\sqrt[3]{x^{2}}$ είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.

Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση $x^{2}=1$
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.

Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το t=1

.
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.

#3

angvl έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι $\displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}$ .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το $\displaystyle A = \Re$ . Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \Re$ ισχύει:

$\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1$ .

$\displaystyle (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} = (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με τη ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1$ Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι $\pm 1$ , και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής f(x)=g(x)

. Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου h(x)

ισχύει $f(x)\ge h(x)$ με ισότητα όταν $x=1 \vee x = -1$ , και επίσης ισχύει $g(x)\ge h(x)$ με ισότητα όταν $x=1 \vee x = -1$ . Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι $x=1 \vee x = -1$ .

Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις $\pm 1$ έχουμε και την ρίζα x=0

, που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων όπου για τα ζεύγη και ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η έχει ακόμη ρίζες, πέρα από τις $\pm 1$ .

angvl · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 8:56 pm

angvl έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι $\displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}$ .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το $\displaystyle A = \Re$ . Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \Re$ ισχύει:

$\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1$ .

$\displaystyle (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} = (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με τη ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1$ Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Η εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.
Θέτοντας $t=\sqrt[3]{x^{2}}$ είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.

Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση $x^{2}=1$
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.

Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το .
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.

Ευχαριστώ κ.Σταύρο οπως πάντα για την άμεση απάντηση! Οπως έγραψα στην αρχή η άσκηση είναι αρκετά απλή την εχω λύσει ήδη με δύο τρόπους και ο ένας ήταν με την αντικατάσταση που προτείνετε! Απλά έκανα αυτή την παρατήρηση(δεν είπα ότι είναι μέθοδος) μήπως μπορώ να φτάσω στο αποτέλεσμα κατά αυτόν τον τρόπο!

angvl · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 9:27 pm

angvl έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι $\displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}$ .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το $\displaystyle A = \Re$ . Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \Re$ ισχύει:

$\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1$ .

$\displaystyle (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} = (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}$ . Με τη ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1$ Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι $\pm 1$ , και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής . Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου ισχύει $f(x)\ge h(x)$ με ισότητα όταν $x=1 \vee x = -1$ , και επίσης ισχύει $g(x)\ge h(x)$ με ισότητα όταν $x=1 \vee x = -1$ . Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι $x=1 \vee x = -1$ .

Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις $\pm 1$ έχουμε και την ρίζα , που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων όπου για τα ζεύγη και ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η έχει ακόμη ρίζες, πέρα από τις $\pm 1$ .

Ευχαριστώ κ. Μιχάλη! Θα την κοιτάξω την άσκηση που λέτε!

#6

angvl έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 9:53 pm
Θα την κοιτάξω την άσκηση που λέτε!

angvl, καμιά πρόοδος εδώ;

angvl · #7

Καλημέρα κ.Μιχάλη! Νομίζω βρήκα τρείς με παραπάνω απο 100 ρίζες mε την βοήθεια του geogebra

.

$\displaystyle f(x) = |\sin (x^2-1)| , g(x) = |\sin (x^4-1)| , h(x) = 0$

: test.png (83.8 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές

#8

angvl έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 17, 2019 8:08 am
Νομίζω βρήκα τρείς με παραπάνω απο 100 ρίζες mε την βοήθεια του geogebra .

Καλή η προσπάθεια αλλά δυστυχώς το παράδειγμά σου έχει πολλά προβλήματα: Πρώτον θέλουμε η
εξίσωση f(x)=g(x)

να έχει ακριβώς 100

ρίζες πέρα από τις $\pm 1$ . Δεύτερον
δεν έδειξες ότι οι εξισώσεις f(x)=h(x), g(x)=h(x)

έχουν ρίζες μόνο τις $\pm 1$ .

Η άσκηση είναι αρκετά απλή, και το σχήμα που έδωσα είναι αρκετός οδηγός για την επίλυση της. Το γεγονός
ότι ψάχνεις συναρτήσεις με τύπο, είναι ο λάθος δρόμος.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια.

angvl · #9

Καλησπέρα κ. Μιχάλη!

'Εστω $\displaystyle f : [-2,102] \to R$ , $\displaystyle g :[-2,102] \to R$ και $\displaystyle h(x) = 0$ συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν :

$\displaystyle f(x) > g(x) > h(x)$ για κάθε $\displaystyle x \in [-2,-1) \cup (-1,0) \cup (0,1) \cup (1,2) \cup ..(101,102)$ και

$\displaystyle f(-1)=g(-1)=h(-1)=f(1)=g(1)=h(1)=0$ και

$\displaystyle y_{2},y_{3},..y_{102}$ θετικοί αριθμοί που ανήκουν στο $\displaystyle (f(A) \cap g(B))$ όπου Α και Β τα πεδία ορισμού των $\displaystyle f,g$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle f(2)=g(2)=y_{2}, f(3)=g(3) = y_{3},...,f(102)=g(102)=y_{102}}$ .

Τότε για τις συναρτήσεις $\displaystyle f,g,h$ νομίζω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις που θέσατε!

#10

Άρρητη εξίσωση

Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση