Άρρητη εξίσωση
Συντονιστής: stranton
Άρρητη εξίσωση
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το . Για κάθε ισχύει:
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Καλό Καλοκαίρι!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Άρρητη εξίσωση
Η εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.angvl έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pmΚαλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το . Για κάθε ισχύει:
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Θέτοντας είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.
Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.
Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το .
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άρρητη εξίσωση
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι , και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.angvl έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pmΚαλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το . Για κάθε ισχύει:
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής . Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου ισχύει με ισότητα όταν , και επίσης ισχύει με ισότητα όταν . Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι .
Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις έχουμε και την ρίζα , που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.
Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων όπου για τα ζεύγη και ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η έχει ακόμη ρίζες, πέρα από τις .
- Συνημμένα
-
- treis sinartiseis.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 1347 φορές
Re: Άρρητη εξίσωση
Ευχαριστώ κ.Σταύρο οπως πάντα για την άμεση απάντηση! Οπως έγραψα στην αρχή η άσκηση είναι αρκετά απλή την εχω λύσει ήδη με δύο τρόπους και ο ένας ήταν με την αντικατάσταση που προτείνετε! Απλά έκανα αυτή την παρατήρηση(δεν είπα ότι είναι μέθοδος) μήπως μπορώ να φτάσω στο αποτέλεσμα κατά αυτόν τον τρόπο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 8:56 pmΗ εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.angvl έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pmΚαλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το . Για κάθε ισχύει:
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Θέτοντας είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.
Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.
Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το .
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.
Καλό Καλοκαίρι!
Re: Άρρητη εξίσωση
Ευχαριστώ κ. Μιχάλη! Θα την κοιτάξω την άσκηση που λέτε!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 9:27 pmΣτο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι , και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.angvl έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pmΚαλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι .Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το . Για κάθε ισχύει:
. Με την ισότητα να ισχύει όταν .
. Με τη ισότητα να ισχύει όταν Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής . Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου ισχύει με ισότητα όταν , και επίσης ισχύει με ισότητα όταν . Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι .
Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις έχουμε και την ρίζα , που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.
Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων όπου για τα ζεύγη και ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η έχει ακόμη ρίζες, πέρα από τις .
Καλό Καλοκαίρι!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άρρητη εξίσωση
Καλημέρα κ.Μιχάλη! Νομίζω βρήκα τρείς με παραπάνω απο 100 ρίζες mε την βοήθεια του geogebra .
Καλό Καλοκαίρι!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άρρητη εξίσωση
Καλή η προσπάθεια αλλά δυστυχώς το παράδειγμά σου έχει πολλά προβλήματα: Πρώτον θέλουμε η
εξίσωση να έχει ακριβώς ρίζες πέρα από τις . Δεύτερον
δεν έδειξες ότι οι εξισώσεις έχουν ρίζες μόνο τις .
Η άσκηση είναι αρκετά απλή, και το σχήμα που έδωσα είναι αρκετός οδηγός για την επίλυση της. Το γεγονός
ότι ψάχνεις συναρτήσεις με τύπο, είναι ο λάθος δρόμος.
Κάνε άλλη μία προσπάθεια.
Re: Άρρητη εξίσωση
Καλησπέρα κ. Μιχάλη!
'Εστω , και συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν :
για κάθε και
και
θετικοί αριθμοί που ανήκουν στο όπου Α και Β τα πεδία ορισμού των για τους οποίους ισχύει
.
Τότε για τις συναρτήσεις νομίζω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις που θέσατε!
'Εστω , και συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν :
για κάθε και
και
θετικοί αριθμοί που ανήκουν στο όπου Α και Β τα πεδία ορισμού των για τους οποίους ισχύει
.
Τότε για τις συναρτήσεις νομίζω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις που θέσατε!
Καλό Καλοκαίρι!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες