Γωνία και πλευρά

KARKAR · #1

: Γωνία και πλευρά.png (10.13 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά

και την γωνία $\theta$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Στο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά και την γωνία $\theta$ .

Καλημέρα.

: shape.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Με $CT \bot AS$ η άσκηση ξεκλειδώνει!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά και την γωνία $\theta$ .

Καλημέρα!

Θεωρώ σημείο

στην προέκταση της

ώστε $\angle DAB=15^{\circ}$ .
Έχουμε $\angle BDA=30^{\circ}=\angle KAS\Leftrightarrow AS=SD,\angle SBA=15^{\circ}$

Από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε $\dfrac{AD}{BD}=BD+1\Leftrightarrow AD=BD^2+BD\,\,\,(1)$

Έστω

η προβολή του

στην

.Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε $\dfrac{AD^2}{4}=\left ( BD+1 \right )^2-\dfrac{\left ( BD+1 \right )^2}{4}\overset{(1)}{\Leftrightarrow} BD^2+BD\left ( 1-\sqrt{3} \right )-\sqrt{3} \Leftrightarrow BD=\sqrt{3},AD=3+\sqrt{3}=..=DC$

Άρα ADC

ισοσκελές , $\vartheta =\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$

Βλέπουμε τώρα ότι $\overset{\Delta }{ABC}\sim \overset{\Delta }{ASC}$ κι έτσι $\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt{6}$

: 116.PNG (31.09 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά και την γωνία $\theta$ .

Φέρνω το ύψος AD,

οπότε

: Γωνία και πλευρά.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Με νόμο ημιτόνων στο ABS,

$\displaystyle \frac{1}{{\sin 15^\circ }} = \frac{{AS}}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow AS = \sqrt 3 + 1 \Leftrightarrow SD = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle AD = BD = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}$ και $\displaystyle DC = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2}.$ Με Π. Θ τώρα στο ADC

βρίσκω $\boxed{x=\sqrt 6}$

και $\displaystyle \cos \theta = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta = 75^\circ }$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Χαιρετώ!
Παρόμοια με του κυρίου Γιώργου.
Φέρω το ύψος

του τριγώνου ABC

. Το τρίγωνο ABD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $AB=\sqrt{2}\cdot \dfrac{a+2}{2}$ .
Με Θ.Stewart στο τρίγωνο ABC

έχω: $x^{2}+a+4a+4 =3a^{2}+6\Leftrightarrow x^{2}=2a^{2}-4a+2$
Στο τρίγωνο ASD

είναι $\dfrac{\dfrac{a}{2}+1}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{a+2}{a}=\sqrt{3} \Leftrightarrow a\left ( \sqrt{3} -1\right )=2\Leftrightarrow a=\sqrt{3}+1$
Τώρα έχουμε $x^{2}=2\left ( 3+2\sqrt{3}+1 \right )-4\sqrt{3}-4+2=...=6\Leftrightarrow x=\sqrt{6}$
Τώρα με N.ημιτόνων στο ASC

έχω $\dfrac{\sin \vartheta }{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}\Leftrightarrow sin\vartheta =\dfrac{\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}+1 \right )}{2\sqrt{6}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \vartheta =75^{\circ}$
[attachment=0]Γωνία και πλευρά.PNG[/attachment]

#6

Αλλιώς.

: Γωνία και πλευρά.Ι.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Με νόμο ημιτόνων στο ABS

και 2 φορές συνημιτόνων στο ASC

βρίσκω διαδοχικά:

$\displaystyle AS = \sqrt 3 + 1,$ $x=\sqrt 6,$ και $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow \theta = 75^\circ$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά και την γωνία $\theta$ .

Έστω

σημείο της

ώστε $\angle SAD=15^{\circ}$

Έστω SD=a, K

η προβολή του

στην

και το ύψος

.

Είναι $AB=BK+KA=\left ( a+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\left ( a+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\left ( a+1 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ και $AD=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( a+1 \right )=\left ( a+1 \right )\sqrt{2}$

Από θεώρημα διχοτόμων $\left ( a+1 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left ( a+1 \right )\sqrt{2}}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{3}-1$

Από το εγγράψιμο AKDL

είναι $BD\left ( BD+DL \right )=BK\cdot AB\Leftrightarrow 3+\sqrt{3}DL=\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{3}+1 \right )\Leftrightarrow DL=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$
Άρα $LC=3-\sqrt{3}-\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}=DL\Leftrightarrow \angle DAL=\angle LAC=15^{\circ},\angle C=75^{\circ}$
Η συνέχεια όπως πριν.

: 117.PNG (25.25 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

#8

: Πλευρά και γωνία.png (33.63 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Προφανώς $\widehat {ABC} = 45^\circ$ . Αν η μεσοκάθετος στο

κόψει την

στο

θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} KS = 2SM = 1 = BS \hfill \\ \widehat {KBA} = \widehat {KAB} = 15^\circ \hfill \\ KB = KC = KA \hfill \\ R = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {CKA} = 90^\circ \hfill \\ x = \sqrt 6 \hfill \\ \widehat \theta = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Γωνία και πλευρά

Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Re: Γωνία και πλευρά

Μέλη σε σύνδεση