Μηδενικός πίνακας

Tolaso J Kos · #1

Έστω

πρώτος αριθμός και $A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C})$ . Να δειχθεί ότι , αν $A^{p+1}=A$ και $\text{tr}(A)=0$ , A=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm
Έστω πρώτος αριθμός και $A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C})$ . Να δειχθεί ότι , αν $A^{p+1}=A$ και $\text{tr}(A)=0$ , .

Θέτουμε $f(x)=x^{p+1}-x=x(x-1)\varphi _{p}(x)$

όπου $\varphi _{p}(x)$ το κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Είναι γνωστό ότι αυτό είναι ανάγωγο στους ρητούς και οι ρίζες του είναι
$\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1$
όπου
$\zeta =e^{\frac{2\pi i}{p}}$ .

Το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα

διαιρεί το f(x)

και οι ιδιοτιμές του είναι ρίζες του.

Το $\mathbb{Q}(\zeta )$ είναι διανυσματικός χώρος διάστασης p-1

πάνω
από τους ρητούς.

Τα $1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1$

είναι γραμμικώς εξηρτημένα στο $\mathbb{Q}(\zeta )$

αφού το αθροισμά τους είναι

.

Επίσης παράγουν τον $\mathbb{Q}(\zeta )$ .

Ετσι κάθε υποσύνολο τους με το πολύ p-1

στοιχεία είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

Οι ιδιοτιμές του

θα είναι από το σύνολο των $0,1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1$ .

Αν δεν είναι όλες

τότε θα υπάρχουν κάποιες το πολύ p-1

από το σύνολο $1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1$
(δεν εχουμε πρόβλημα αν είναι διπλές ,τριπλές,κλπ)

Επειδή το $\text{tr}(A)=0$ και το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι $\text{tr}(A)$

θα έχουμε γραμμικό συνδιασμό των ιδιοτιμών με συντελεστες φυσικούς
να είναι

.

Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας.

Αρα η μόνη ιδιοτιμή το

.

Αρα το ελάχιστο που πρέπει να διαιρεί το f(x)

είναι το

$m_{A}(x)=x$

Αρα A=0

Μηδενικός πίνακας

Μηδενικός πίνακας

Re: Μηδενικός πίνακας

Μέλη σε σύνδεση