ZFC

[stranger]

Έχω μια κάπως φιλοσοφική ερώτηση σχετικά με τα πιθανά μοντέλα της ZFC. Υπάρχει μια πρόταση στη συνολοθεωρία που λέει ότι το αξίωμα της κανονικότητας είναι ισοδύναμο με την πρόταση , όπου είναι το μαθηματικό σύμπαν και είναι η κλάση των καλών εδραιωμένων συνόλων.Το ουσιαστικά είναι όλα τα σύνολα που παράγονται από το μέσω διαδοχικής χρήσης του αξιώματος του δυναμοσυνόλου και του αξιώματος της ένωσης.Δηλαδή τα σύνολα , , και ούτο καθεξής.
Αυτό μου λέει εμένα ότι υπάρχει μόνο ένα μοντέλο της ZFC και είναι ακριβώς τα σύνολα που προέρχονται από το χρησιμοποιώντας διαδοχικά τα αξιώματα της ένωσης και του δυναμοσυνόλου.
Όμως τότε αν η ZFC έχει μόνο ένα μοντέλο από το θεώρημα πληρότητας του Godel αυτό συνεπάγεται ότι η ZFC είναι πλήρες αξιωματικό σύστημα κάτι που αντίκειται στο θεώρημα μη-πληρότητας του Godel.
Που κάνω λάθος στον συλλογισμό μου;

[Demetres]

Θα δώσω δύο λόγους για τους οποίους νομίζω ότι δεν αντίκειται στο θεώρημα της μη πληρότητας. Δεν είμαι σίγουρος αν όλα όσα λέω είναι σωστά ή, ακόμη και στην περίπτωση που είναι, αν δεν υπάρχουν και άλλοι σοβαρότεροι λόγοι. Χρειαζόμαστε κάποιον πιο ειδικό για να μας απαντήσει στα σίγουρα.

(1) Μέχρι που σταματάμε την κατασκευή των ; Π.χ. η ύπαρξη ή μη inaccessible cardinals μπορεί να δίνει διαφορετικό μοντέλο. Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά μιας και δεν καταλαβαίνω και πολύ καλά τα inaccessible cardinals. Αν αφαιρέσουμε το axiom of replacement, από ότι γνωρίζω δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε το . Σε αυτήν τη συνολοθεωρία ποιο θα ήταν το μοντέλο μας; Θα είχε μέσα και το ή όχι;

(2) Το είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του . Μπορεί όμως διαφορετικά μοντέλα να έχουν διαφορετική ερμηνεία για το ποια είναι «όλα τα υποσύνολα».

[stranger]

Με κάλυψες με το πρώτο μέρος της απάντησής σου.Η αλήθεια είναι ότι δεν ορίζονται μονοσήμαντα οι διατακτικοί αριθμοί πάνω στους οποίους κάνουμε την υπερπεπερασμένη επαγωγή,το οποίο σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν διαφορετικά μοντέλα για κάθε ερμηνεία των διατακτικών αριθμών.Μπορεί να υπάρχουν inaccesible cardinals μπορεί και όχι.
Σε ευχαριστώ πολύ.