Σύστημα ( II )

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί πάνω από το $\mathbb{C}$ το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} a^2+ b^2 & = &7 \\ a^3 + b^3 & = & \sqrt{23} \end{matrix}\right.}$

#2

Θέτουμε

και

. Οι δυο εξισώσεις γίνονται s^2-2p = 7

και $s^3-3sp = \sqrt{23}$ . Λύνοντας την πρώτη από αυτές ως προς

και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε $s^3 - 21s+2\sqrt{23} = 0$ . Θέτοντας $s = t\sqrt{23}$ καταλήγουμε στη 23t^3 - 21t+2=0

. Παρατηρούμε ότι η t=-1

είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης οπότε μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ως 23t^3 - 21t+2 = (t+1)(23t^2 -23t+2)

οπότε

ή $t = \frac{23 \pm \sqrt{23 \cdot 15}}{46}$ .

Αυτό δίνει $s = -\sqrt{23}$ ή $s = \frac{\sqrt{23} \pm \sqrt{15}}{2}$ με τις τιμές του

να είναι

και $\frac{5 \pm \sqrt{345}}{4}$ .

Τα a,b

είναι ρίζες τις x^2 - sx + p = 0

δηλαδή ισούνται με $\frac{s \pm \sqrt{s^2-4p}}{2} = \frac{s \pm \sqrt{7-2p}}{2}$ . Καταλήγουμε λοιπόν στις εξής λύσεις:

$\displaystyle a= \frac{-\sqrt{23} + 3i}{2}, b= \frac{-\sqrt{23} - 3i}{2}$

$\displaystyle a= \frac{\sqrt{23}+\sqrt{15} + i\sqrt{2\sqrt{345}-18}}{4}, \frac{\sqrt{23}+\sqrt{15} - i\sqrt{2\sqrt{345}-18}}{4}$

$\displaystyle a= \frac{\sqrt{23}-\sqrt{15} + \sqrt{2\sqrt{345}+18}}{4}, \frac{\sqrt{23}-\sqrt{15} - \sqrt{2\sqrt{345}+18}}{4}$

καθώς και οι συμμετρικές τους

Σύστημα ( II )

Σύστημα ( II )

Re: Σύστημα ( II )

Μέλη σε σύνδεση