Κατασκευή ρόμβου

#1

: Κατασκευή ρόμβου.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 1777 φορές

Στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος

και προς το ίδιο μέρος του υψώνω τις κάθετες ημιευθείες Ax, By

και έστω

ένα σημείο του AB.

α) Να κατασκευάσετε ρόμβο KLMN

με

σημεία των ημιευθειών Ax, By

αντίστοιχα

και $M\widehat KL=60^\circ.$

β) Αν το

είναι τυχαίο σημείο του τμήματος AB,

να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (και τα οριακά σημεία) του

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ksofsa · #3

Λίγο διαφορετικά:

Εστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου.

Τότε από τα εγγράψιμα ANOK, BLOK

έχω $\angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}$

Αρα το

είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο.

Το

είναι το συμμετρικό του

ως προς

και τα

τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου του

με τις

.

Τα σημεία

βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα το συμμετρικό του

ως προς το

.

ksofsa · #4

Βασικά, το

δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του

.

Η μία οριακή θέση του

είναι όταν το

συμπίπτει με το

και η άλλη όταν το

συμπίπτει με το

.

Δηλαδή οι θέσεις του

είναι στο μέσο τριτημόριο του

.

Αντίστοιχα , οι θέσεις του

στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτημορίου του

ως προς

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Το σημείο

μπορεί να προκύψει σαν τομή της

με την ευθεία που
είναι η

στραμμένη αριστερόστροφα κατά $\frac{2\pi }{3}$
με κέντρο το

.
Οι περιορισμοί για το

προκύπτουν γιατί θέλουμε να υπάρχει τομή.

#6

: Κατασκευή ρόμβου.2.png (11.72 KiB) Προβλήθηκε 1568 φορές

Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του

αν ο ρόμβος είναι KLNM;

(Δεν έχω λύση).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του αν ο ρόμβος είναι (Δεν έχω λύση).

Τα παρακάτω είναι λανθασμενα
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το

σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το

θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας

στραμμένης δεξιόστροφα κατά

μοίρες με κέντρο το

.
Αν το

μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του αν ο ρόμβος είναι (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας στραμμένης δεξιόστροφα κατά μοίρες με κέντρο το
.
Αν το μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.

Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το

είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος KLNM

με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, N, L

να είναι σημεία των ημιευθειών Ax, By

και $M\widehat KL=60^\circ.$ (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 11:26 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:38 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 10, 2019 5:05 pm
Κατασκευή ρόμβου.2.png
Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του αν ο ρόμβος είναι (Δεν έχω λύση).
Γεια σου Γιώργο .
Αν θεωρήσουμε το σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους.
Τότε το θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας στραμμένης δεξιόστροφα κατά μοίρες με κέντρο το
.
Αν το μεταβάλετε τότε τα αντίστοιχα μέρη των στραμμένων ημιευθειών θα φτιάχνουν οικόπεδο.
Οπότε μαλλον ξεφεύγουμε από τους κλασσικούς γεωμετρικούς τόπους.
Αν κάνω λάθος διορθωσε με.
Καλημέρα Σταύρο!

Έχω την εντύπωση ότι αν το είναι σταθερό, υπάρχει μοναδικός ρόμβος με αυτές τις προδιαγραφές.

Δηλαδή, να είναι σημεία των ημιευθειών και $M\widehat KL=60^\circ.$ (Ίσως όμως κάτι να μου διαφεύγει).

Καλημέρα Γιώργο.
Έχεις δίκιο είναι μοναδικός ο Ρόμβος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για
$-1\leq x\leq 0$ .

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο

θέτουμε το

και στο

το

Εστω

το σημείο

$w_{1}$
το σημείο

επίσης το $0\leq a\leq 1$
είναι το σημείο

Είναι $w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}$
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή $z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0$

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

$w=i\sqrt{3}(2-a)$
Ετσι θα είναι

$z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)$
Αλλά
$w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}$
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

$w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}$

Από την τελευταια προκύπτει ότι το $w_{1}$

βόσκει πάνω στην ευθεία $\sqrt{3}y+2x=1$ με το $-1\leq x\leq 0$ .

#11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για
$-1\leq x\leq 0$ .
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για A(0,0), B(1,0).

Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 8:01 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για
$-1\leq x\leq 0$ .
Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.
Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για
Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση

Γιώργο έβαλα παραπάνω την λύση με μιγαδικούς.

Νομίζω ότι μπορεί να ''μεταφρασθεί'' σε Ευκλείδεια.

#13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 6:25 pm
Ο γεωμετρικός τόπος του είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για
$-1\leq x\leq 0$ .

Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς.

Στο θέτουμε το και στο το

Εστω
το σημείο

το σημείο
$w_{1}$
το σημείο
επίσης το $0\leq a\leq 1$
είναι το σημείο

Είναι $w=a+(z-a)\sqrt{3}e^{i\frac{\pi }{6}}, z-a=(w-a)\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-i\frac{\pi }{6}$
(μετασχηματισμός ομοιότητας)

Επειδή $z+\bar{z}=2,w+\bar{w}=0$

προκύπτει κάνοντας πράξεις ότι

$w=i\sqrt{3}(2-a)$
Ετσι θα είναι

$z=a+\frac{e^{-i\frac{\pi }{6}}}{\sqrt{3}}(i\sqrt{3}(2-a)-a)$
Αλλά
$w_{1}=a+(z-a)e^{i\frac{\pi }{3}}$
(στροφή)

κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι

$w_{1}=a-1+i\frac{6-4a}{2\sqrt{3}}$

Από την τελευταια προκύπτει ότι το $w_{1}$

βόσκει πάνω στην ευθεία $\sqrt{3}y+2x=1$ με το $-1\leq x\leq 0$ .

Σ' ευχαριστώ Σταύρο για τη λύση

Δίνω το σχήμα.

: Κατασκευή ρόμβου.β.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 1399 φορές

Κατασκευή ρόμβου

Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Re: Κατασκευή ρόμβου

Μέλη σε σύνδεση