Ψηφιακό σχολείο: διαγώνισμα 2 - θέμα Β

[Apo.Antonis]

Έκανα αναζήτηση του θέματος και δεν το βρήκα. Παρακαλώ αν υπάρχει αντίστοιχο νήμα να συγχωνευθεί.

Στο study4exams, 2o διαγώνισμα Δεκέμβριος 2018
στο ΘΕΜΑ Β ερώτημα τρίτο ζητείται να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και μια αρνητική ρίζα.
(Τώρα που γράφω τα θέματα και οι λύσεις τους δεν είναι προσβάσιμα, θα τα βρείτε στα συνημμένα)

Έχουμε δεδομένο ότι οι συναρτήσεις είναι γνησίως μονότονες οπότε η εξίσωση εύκολα καταλήγει:

Στις προτεινόμενες λύσεις εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano σε τρία κατάλληλα διαστήματα και στην συνέχεια αναφέρεται (αντιγράφω)
"και επειδή η εξίσωση είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού θα έχει το πολύ τρεις ρίζες, άρα έχει ακριβώς τις .

Πρώτον, η σχέση δεν είναι εξίσωση, δεύτερον η πρόταση που χρησιμοποιείται δεν υπάρχει στην Άλγεβρα (που διδάσκεται).

Εναλλακτική προσέγγιση:

παρατηρούμε ότι ισχύει ότι και . Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε

Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner και προκύπτει:

η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές αν ισχύει και
όπου και .
Το είναι άθροισμα θετικών, εντάξει, τι γίνεται με το ;


Αν οι δύο ρίζες του τριωνύμου αρκεί να δείξουμε ότι .
Ισχύει ότι και οπότε -ξανά- από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε
και η λύση τελειώνει εδώ, έχοντας αφήσει προφανώς μερικά μικρά κενά να τα συμπληρώσει κάποιος που επιθυμεί να ασχοληθεί με την άσκηση.

[george visvikis]

...Στις προτεινόμενες λύσεις εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano σε τρία κατάλληλα διαστήματα και στην συνέχεια αναφέρεται (αντιγράφω)
"και επειδή η εξίσωση είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού θα έχει το πολύ τρεις ρίζες, άρα έχει ακριβώς τις .

Πρώτον, η σχέση δεν είναι εξίσωση, δεύτερον η πρόταση που χρησιμοποιείται δεν υπάρχει στην Άλγεβρα (που διδάσκεται).

Δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα. Εντάξει θα μπορούσαν να γράψουν "η συνάρτηση" αντί "η εξίσωση". Το άλλο όμως θεωρείται γνωστό. Κάθε πολυώνυμο βαθμού έχει το πολύ ρίζες. Αν είχε περισσότερες, π.χ τότε
θα ίσχυε και μετά τις πράξεις θα προέκυπτε πολυώνυμο βαθμού.

[Christos.N]

Ακριβώς γνωστό δεν είναι Γιώργο, το ότι αποδεικνύεται δεν το κάνει γνωστό στους μαθητές, πουθενά η Β Λυκείου αλλά και η Γ Λυκείου δεν το αναφέρει ως πρόταση σε κάποιο σχολικό εγχειρίδιο.

[Μάρκος Βασίλης]

Δεν μπορούμε να πάμε με Rolle και άτοπο; Δηλαδή, έστω ότι η έχει τέσσερις ρίζες, οπότε, μέσω Rolle, η (πρώτη) παράγωγος θα έχει τρεις, ξανά μέσω Rolle, η δεύτερη θα έχει δύο και, ομοίως, η τρίτη θα έχει μία. Ωστόσο, η τρίτη παράγωγος της είναι , άτοπο.

[Apo.Antonis]

Μπορούμε, το διαγώνισμα όμως δεν καλύπτει αυτή την ύλη.

[Μάρκος Βασίλης]

Μπορούμε, το διαγώνισμα όμως δεν καλύπτει αυτή την ύλη.

Αν δεν καλύπτεται ο Rolle, μπορούμε να πούμε το εξής:

Αφού κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει ρίζα (Bolzano), έπεται ότι η γράφεται , όπου το είναι δευτεροβάθμιο. Ωστόσο, κάθε δευτεροβάθμιο έχει το πολύ δύο ρίζες (από τους τύπους που ξέρουν ήδη από γ' γυμνασίου/α' λυκείου), οπότε το έχει το πολύ τρεις ρίζες.

[george visvikis]

Ακριβώς γνωστό δεν είναι Γιώργο, το ότι αποδεικνύεται δεν το κάνει γνωστό στους μαθητές, πουθενά η Β Λυκείου αλλά και η Γ Λυκείου δεν το αναφέρει ως πρόταση σε κάποιο σχολικό εγχειρίδιο.

Μπορεί να μην αναφέρεται στα σχολικά βιβλία, αλλά το επίσημο λυσάρι χρησιμοποιεί ακριβώς αυτή την πρόταση στη λύση της άσκησης 6 της Β' Ομάδας στην παράγραφο 2.7, προκειμένου να διαπιστωθεί ότι υπάρχουν 5 ακρότατα.

[Christos.N]

Γιώργο ευχαριστώ πολύ! Θα το έχω υπόψιν μου!!

[JimNt.]

Εξηγεί κανείς γιατί η πρόταση Α3 δ) είναι λανθασμένη;

[Apo.Antonis]

Εξηγεί κανείς γιατί η πρόταση Α3 δ) είναι λανθασμένη;

γιατί της λείπει κάτι στην διατύπωση

Μπορούμε, το διαγώνισμα όμως δεν καλύπτει αυτή την ύλη.

Αν δεν καλύπτεται ο Rolle, μπορούμε να πούμε το εξής:

Αφού κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει ρίζα (Bolzano), έπεται ότι η γράφεται , όπου το είναι δευτεροβάθμιο. Ωστόσο, κάθε δευτεροβάθμιο έχει το πολύ δύο ρίζες (από τους τύπους που ξέρουν ήδη από γ' γυμνασίου/α' λυκείου), οπότε το έχει το πολύ τρεις ρίζες.

Δεν έχω καμία αντίρρηση σε αυτό, ο υπαινιγμός ήταν αν χρειάζεται εν προκειμένω στην άσκηση. Η δε γενίκευση δεν είναι αυτονόητη.

Μπορεί να μην αναφέρεται στα σχολικά βιβλία, αλλά το επίσημο λυσάρι χρησιμοποιεί ακριβώς αυτή την πρόταση στη λύση της άσκησης 6 της Β' Ομάδας στην παράγραφο 2.7, προκειμένου να διαπιστωθεί ότι υπάρχουν 5 ακρότατα.

Το λυσάρι εκδόθηκε μαζί με το βιβλίο στην πλήρη του μορφή. Όπως θυμάστε στο κεφάλαιο των μιγαδικών υπήρχε το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας και η λύση της άσκησης είναι άμεση συνέπεια. Τώρα;
Το γινόμενο το οποίο γράψατε, εκμεταλεύεται το θθ της Άλγεβρας. Δεν υπάρχει έτοιμη πρόταση για πολυώνυμα ν-οστού βαθμού ότι παραγοντοποιούνται σε αυτή την μορφή. Έχουμε και την μαθηματική επαγωγή εκτός.

Από την άλλη δεν έχω κανένα πρόβλημα να το θεωρούμε γνωστό, απλώς νόμιζα ότι δεν είναι αφού δεν γίνεται νύξη στις οδηγίες.

[Christos.N]

Το λυσάρι εκδόθηκε μαζί με το βιβλίο στην πλήρη του μορφή. Όπως θυμάστε στο κεφάλαιο των μιγαδικών υπήρχε το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας και η λύση της άσκησης είναι άμεση συνέπεια. Τώρα;
Το γινόμενο το οποίο γράψατε, εκμεταλεύεται το θθ της Άλγεβρας. Δεν υπάρχει έτοιμη πρόταση για πολυώνυμα ν-οστού βαθμού ότι παραγοντοποιούνται σε αυτή την μορφή. Έχουμε και την μαθηματική επαγωγή εκτός.

Από την άλλη δεν έχω κανένα πρόβλημα να το θεωρούμε γνωστό, απλώς νόμιζα ότι δεν είναι αφού δεν γίνεται νύξη στις οδηγίες.

Εύλογο αυτό που λες !

[Μάρκος Βασίλης]

Δεν έχω καμία αντίρρηση σε αυτό, ο υπαινιγμός ήταν αν χρειάζεται εν προκειμένω στην άσκηση. Η δε γενίκευση δεν είναι αυτονόητη.

Σε αυτό συμφωνούμε απόλυτα. Τουλάχιστον στις φετινές οδηγίες δεν κατάφερα να βρω κάποια αναφορά.