Εξίσωση

mick7 · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση

$\displaystyle 4^x-x\cdot2^x=x+1$

Tolaso J Kos · #2

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 22, 2019 11:42 am Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση

$\displaystyle 4^x-x\cdot2^x=x+1$

Μία λύση με βαρύ πυροβολικό. Η συνάρτηση f(x)=4^x-x2^x - x - 1

είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ (γιατί ; ) άρα έχει το πολύ δύο ρίζες. Προφανείς ρίζες είναι οι $x=0\; , \; x=1$ οπότε είναι και οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης.

Θα χαρώ να δω κάτι σε φάκελο γυμνασίου.

Al.Koutsouridis · #3

Δεν καταλαβαίνω αυτή την μανία (πιθανόν να έγινε κατά λάθος) να βάζουμε προβλήματα που εκ των πραγμάτων ξέρουμε ότι δεν ταιριάζουν σε κάποιο φάκελο. Η ύψωση σε δύναμη με εκθέτη πραγματικό εισάγεται στο τέλος της Β’ Λυκείου. Η άσκηση αυτή είναι κατάλληλη μόνο για Γ’ Λυκείου.

Τους φακέλους αυτούς τους παρακολουθούν μαθητές και πιθανόν οι γονείς τους που άκουσαν για παράδειγμα ότι υπάρχει κάποιος διαγωνισμός που ονομάζεται «Θαλής». Μπαίνει ο μαθητής κοιτάει την άσκηση και απλά δεν ξαναπατάει …

#4

Μεταφέρθηκε στους Seniors.

miltosk · #5

mick7 έγραψε: Κυρ Σεπ 22, 2019 11:42 am Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση

$\displaystyle 4^x-x\cdot2^x=x+1$

Καλησπέρα.
$4^x-x\cdot2^x-x-1=0$
Θεωρώντας τη δευτεροβάθμια ως προς 2^x

και λύνοντας καταλήγουμε στη εξίσωση 2^x=x+1

Οπότε

.
Για

την γράφω ως:
$\frac{1}{2^{-x}}=x+1$
Το

όμως είναι θετικό και μάλιστα 1>-x>0

.
Άρα από Bernoulli:
$\frac{1}{2^{-x}}>\frac{1}{1-x}$
Όμως: $\frac{1}{1-x}>x+1 \Leftrightarrow 1-x^2<1$ που ισχύει. Άρα δεν έχουμε λύση στους αρνητικούς. Στους μη αρνητικούς εφαρμόζοντας ξανά Bernoulli και πέρνοντας τις αντίστοιχες περιπτώσεις καταλήγουμε με x=0,x=1

.
Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος...

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση