Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1110
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγοι παράγουν νέο λόγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am

Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG (7.17 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 24, 2019 9:11 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους!

Θέτω BC=a, BZ=x, οπότε AB=ma, DE=lx. Η DZ τέμνει τη CB στο H.
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (22.01 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{(PCD)}}{{(PHC)}} =\dfrac{PD}{PH}= \dfrac{{lx}}{{BH}}\\ 
\\ 
\dfrac{{(PBC)}}{{(PHC)}} = \dfrac{a}{{a + BH}} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( \div )} \boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = \frac{{lx(a + BH)}}{{aBH}}} (1)

Αλλά, \displaystyle \frac{x}{{BH}} = \frac{{ma}}{{a + BH}} \Leftrightarrow BH = \frac{{ax}}{{ma - x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = ml}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 24, 2019 10:52 pm

Ας είναι G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S τα σημεία τομής της ευθείας CP με τις BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA.

Έστω ακόμη σημείο T της BC = b για το οποίο : BT = ED.

Αν θέσω ακόμα , BZ = x θα είναι : BT = ED = lx\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = CD = mb

Από την ομοιότητα των τριγώνων PDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBS έχω: \boxed{\frac{{ZP}}{{PD}} = \frac{{ZS}}{{DC}} = \frac{{ZS}}{{mb}}}\,\,\,(1)
λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle AZD με διατέμνουσα \overline {EPB} έχω και λόγω της (1).

\boxed{\frac{{AB}}{{BZ}} \cdot \frac{{ZP}}{{PD}} \cdot \frac{{DE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{bm}}{{BZ}} \cdot \frac{{SZ}}{{bm}} \cdot \frac{{lx}}{{b - lx}} = 1 \Rightarrow \frac{{SZ}}{{BZ}} = \frac{{b - lx}}{{lx}} = \frac{{TC}}{{TB}}}\,\,(2)\,\,\,

Που μας εξασφαλίζει : SC//ZT\,\,\,\kappa \alpha \iota \boxed{\,\,BS = \frac{b}{l}}

Μετά απ’ αυτά : \boxed{\frac{{\left( {PDC} \right)}}{{\left( {PBC} \right)}} = \frac{{DG}}{{GB}} = \frac{{DC}}{{BS}} = \frac{{mb}}{{\frac{b}{l}}} = ml}


Παρατήρηση :

Κατά την κίνηση του Z tο P ανήκει σε σταθερή ευθεία


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Σεπ 26, 2019 3:55 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ισχύει, \dfrac{ \big(PDC\big) }{ \big(PBC\big) }= \dfrac{DN}{NB} κι έστω EN \cap BC=Q,EC \cap BD=L

Με CEVA στο τρίγωνο EBC \Rightarrow  \dfrac{BQ}{QC}  .  \dfrac{CL}{LE}  .  \dfrac{EP}{PB} =1 \Leftrightarrow \dfrac{BQ}{QC} .  \dfrac{BC}{ED} .  \dfrac{EP}{PB} =1  \Rightarrow \dfrac{BQ}{QC} = \dfrac{ED . PB}{BC . EP}  (1)

Με Μενέλαο στο \triangle ABE και διατέμνουσα ZPD \Rightarrow  \dfrac{AZ}{ZB}  .  \dfrac{BP}{PE}  .  \dfrac{ED}{DA} =1 \Rightarrow \dfrac{BZ}{ZA}=\dfrac{ED . PB}{BC . EP}  (2)

Από Από (1),(2) \Rightarrow  \dfrac{BZ}{ZA}= \dfrac{BQ}{QC} \Rightarrow  \dfrac{BZ}{BA}= \dfrac{BQ}{BC}   \Rightarrow AB . BQ=BZ . BC \Rightarrow  BQ= \dfrac{BZ . BC}{AB}

Τώρα,  \dfrac{DN}{NB} = \dfrac{ED}{BQ} = \dfrac{ED . AB}{BZ . BC} =ml
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1110
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Σεπ 30, 2019 8:10 pm

Καλησπέρα. Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη σας ευχαριστώ! Μία ακόμη προσέγγιση
Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG
Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG (7.76 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Φέρνω τα ύψη PN,PM των εν..λόγω τριγώνων.Όπως στην (#8) ανάρτηση του δημοφιλούς θέματος Η εκ του Nagel.. βρίσκουμε

\boxed{PN\cdot BZ=PM\cdot DE}. Απ' αυτή παίρνουμε \dfrac{PN}{PM}=\dfrac{DE}{BZ}=l.

Συνεπώς έχουμε \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}=\dfrac{DC\cdot PN}{BC\cdot PM}=\dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{DE}{BZ}=ml. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Ρίζος και 0 επισκέπτες