Κριτήριο χαρταετού

#1

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD

είναι $AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB$ και $A\widehat BD=2C\widehat DB.$

Να δείξετε ότι AD=CD

(Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλησπέρα!
Έστω K,L

οι τομές των BC,BA

με τις απο το

παράλληλες στις AB,BC

αντίστοιχα. Απο τις παραλληλίες έχουμε $\widehat{KDC}=\widehat{CDB}=\widehat{ABD}/2$ και $\widehat{LDA}=\widehat{ADB}=\widehat{DBC}/2$ .
Με θ.διχοτόμου στα $\overset{\Delta }{DBK}$ και $\overset{\Delta }{DBL}$ έχω αντίστοιχα:

$\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{DB}{DK}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{CB}=\dfrac{DK}{CK}\,\,(1)$

$\dfrac{AB}{AL}=\dfrac{DB}{DL}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DL}{AL}\overset{AB=BC}{\Leftrightarrow }\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{DL}{AL}\,\,(2)$
Απο τις (1)

και

πέρνουμε $\dfrac{DK}{CK}=\dfrac{DL}{AL}$ . Ακόμη το LBKD

είναι παραλληλόγραμμο, άρα $\widehat{L}=\widehat{K}$ . Απο τα παραπάνω προκύπτει $\overset{\Delta }{DAL}\approx \overset{\Delta }{DCK}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADL}=\widehat{CDK}=\widehat{BDC}$ άρα στα τρίγωνα BAD,BDC

$\widehat{ADB}=\widehat{BDC},\widehat{ABC}=\widehat{DBC}$

κοινή , άρα και AD=DC

.

: Κριτήριο χαρταετού.PNG (25.82 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο είναι $AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB$ και $A\widehat BD=2C\widehat DB.$

Να δείξετε ότι (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Στην

θεωρούμε σημείο

με

οπότε $\angle AKB=x, \angle BKC=y \Rightarrow AKCD$ παραλ/μμο

Έτσι $AM=MC \Rightarrow KBD$ μεσοκάθετος της $AC \Rightarrow AD=CD$

: Κριτήριο χαρταετού.png (39.67 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

#4

Καλησπέρα σε όλους. Παραθέτω μια ακόμα αμιγώς γεωμετρική λύση στο πρόβλημα του Γιώργου, με απαγωγή σε άτοπο,δίχως να χρησιμοποιήσω βοηθητικές.

: 26-09-2019 Γεωμετρία.jpg (27.25 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Έστω $\displaystyle AD > DC$ , οπότε, αφού στα ABD, BCD

έχουμε δύο ίσες πλευρές ίσες και τις τρίτες άνισες, θα είναι και $\displaystyle 2\omega > 2\varphi \Rightarrow \omega > \varphi$ (1).

Επίσης, στο ADC

είναι $\displaystyle AD > DC \Rightarrow \widehat {DCA} > \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {DCA} + \kappa > \widehat {DAC} + \kappa \Rightarrow \widehat C > \widehat A$ (2).

Άρα από (1) και (2) έχουμε $\displaystyle \omega + \widehat C > \varphi + \widehat A \Rightarrow 180^\circ - \left( {\omega + \widehat C} \right) < 180^\circ - \left( {\varphi + \widehat A} \right) \Rightarrow 2\varphi > 2\omega$ , άτοπο.

Ομοίως οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε AD<DC

, οπότε είναι ίσα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο είναι $AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB$ και $A\widehat BD=2C\widehat DB.$

Να δείξετε ότι (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Με $DA \cap CB=L,DC \cap AB=M \Rightarrow \angle ALB=x, \angle BMC=y$ .Έτσι BD=LB=BM

και

$\triangle LAB= \triangle MBC \Rightarrow x=y \Rightarrow 2x=2y$

Άρα

μεσοκάθετος της $AC \Rightarrow DA=DC$

: κριτήριο για χαρταετό.png (45.02 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Κριτήριο χαρταετού

Κριτήριο χαρταετού

Re: Κριτήριο χαρταετού

Re: Κριτήριο χαρταετού

Re: Κριτήριο χαρταετού

Re: Κριτήριο χαρταετού

Μέλη σε σύνδεση