Κριτήριο χαρταετού

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο χαρταετού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Κριτήριο χαρταετού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Τετ Σεπ 25, 2019 7:09 pm

Καλησπέρα!
Έστω K,L οι τομές των BC,BA με τις απο το D παράλληλες στις AB,BC αντίστοιχα. Απο τις παραλληλίες έχουμε \widehat{KDC}=\widehat{CDB}=\widehat{ABD}/2 και \widehat{LDA}=\widehat{ADB}=\widehat{DBC}/2.
Με θ.διχοτόμου στα \overset{\Delta }{DBK} και \overset{\Delta }{DBL} έχω αντίστοιχα:

\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{DB}{DK}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{CB}=\dfrac{DK}{CK}\,\,(1)

\dfrac{AB}{AL}=\dfrac{DB}{DL}\Leftrightarrow \dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DL}{AL}\overset{AB=BC}{\Leftrightarrow }\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{DL}{AL}\,\,(2)
Απο τις (1) και (2) πέρνουμε \dfrac{DK}{CK}=\dfrac{DL}{AL}. Ακόμη το LBKD είναι παραλληλόγραμμο, άρα \widehat{L}=\widehat{K}. Απο τα παραπάνω προκύπτει \overset{\Delta }{DAL}\approx \overset{\Delta }{DCK}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADL}=\widehat{CDK}=\widehat{BDC} άρα στα τρίγωνα BAD,BDC \widehat{ADB}=\widehat{BDC},\widehat{ABC}=\widehat{DBC} BC κοινή , άρα και AD=DC.
Κριτήριο χαρταετού.PNG
Κριτήριο χαρταετού.PNG (25.82 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κριτήριο χαρταετού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Σεπ 26, 2019 12:26 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Στην DB θεωρούμε σημείο K με BK=BA=BC οπότε \angle AKB=x, \angle BKC=y \Rightarrow AKCD παραλ/μμο

Έτσι AM=MC \Rightarrow KBD μεσοκάθετος της AC \Rightarrow AD=CD
Κριτήριο χαρταετού.png
Κριτήριο χαρταετού.png (39.67 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4428
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κριτήριο χαρταετού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Σεπ 26, 2019 8:05 pm

Καλησπέρα σε όλους. Παραθέτω μια ακόμα αμιγώς γεωμετρική λύση στο πρόβλημα του Γιώργου, με απαγωγή σε άτοπο,δίχως να χρησιμοποιήσω βοηθητικές.

26-09-2019 Γεωμετρία.jpg
26-09-2019 Γεωμετρία.jpg (27.25 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Έστω  \displaystyle AD > DC , οπότε, αφού στα ABD, BCD έχουμε δύο ίσες πλευρές ίσες και τις τρίτες άνισες, θα είναι και  \displaystyle 2\omega  > 2\varphi  \Rightarrow \omega  > \varphi (1).

Επίσης, στο ADC είναι  \displaystyle AD > DC \Rightarrow \widehat {DCA} > \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {DCA} + \kappa  > \widehat {DAC} + \kappa  \Rightarrow \widehat C > \widehat A (2).

Άρα από (1) και (2) έχουμε  \displaystyle \omega  + \widehat C > \varphi  + \widehat A \Rightarrow 180^\circ  - \left( {\omega  + \widehat C} \right) < 180^\circ  - \left( {\varphi  + \widehat A} \right) \Rightarrow 2\varphi  > 2\omega , άτοπο.

Ομοίως οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε AD<DC, οπότε είναι ίσα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κριτήριο χαρταετού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Σεπ 26, 2019 8:56 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Σεπ 25, 2019 11:05 am
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι AB=BC, C\widehat BD=2A\widehat DB και A\widehat BD=2C\widehat DB.

Να δείξετε ότι AD=CD (Από διαγωνισμό για νέους Μαθηματικούς).

Δεκτές όλες οι λύσεις.

Με DA \cap CB=L,DC \cap AB=M \Rightarrow  \angle ALB=x, \angle BMC=y .Έτσι BD=LB=BM και

\triangle LAB= \triangle MBC \Rightarrow x=y \Rightarrow 2x=2y

Άρα BD μεσοκάθετος της AC \Rightarrow DA=DC
κριτήριο για χαρταετό.png
κριτήριο για χαρταετό.png (45.02 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες