Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

[Datis-Kalali]

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , όπου και για κάθε ισχυεί:


Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω , το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά . Ο κύκλος με διάμετρος και κέντρο , τέμνει την πλευρά στο σημείο . Επίσης έστω ότι ο κύκλος με διάμετρος τέμνει την πλευρά στα σημεία και . Οι ευθείες και , τέμνουν την προέκταση της πλευράς στα σημεία και αντίστοιχα. Επίσης οι ευθείες και τέμνουν τον κύκλο με διάμετρο ξανά στα σημεία και αντίστοιχα. Εάν είναι ο συμμετρικός του ως προς το σημείο , να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Πηγή: Βιβλίο Μαθηματικής Ολυμπιάδας Περσίας

[min##]

Για την πρώτη στα γρήγορα:
Το δίνει για κάθε .Επειδή ,το παραπάνω θα μηδενίζει σίγουρα για κάποιο .Το δίνει
.Βάζοντας αυτό στην αρχική βγαίνει μοναδική λύση η .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για τη δεύτερη:

Έστω το μέσο του και το μέσο του .

Θα δείξουμε ότι .

Προφανώς το ανήκει στην πολική του στον κύκλο διαμέτρου , ενώ ακόμη ισχύει ότι . Άρα τελικά η είναι η πολική του .

Έστω το σημείο τομής της με την .

Από τα παραπάνω προκύπτει πως η είναι αρμονική τετράδα, οπότε από με το μέσο του έχουμε ότι:

.

Όμως από δύναμη σημείου είναι , άρα τελικά . Με άλλα λόγια η είναι εφαπτομένη στο τρίγωνο .

Επομένως έχουμε ότι .

Έστω πως η τέμνει τον κύκλο διαμέτρου στο .

Προφανώς η είναι εφαπτόμενη σε αυτόν τον κύκλο. Έχουμε πως .

Όμως παρατηρούμε πως (οι τελευταίες δύο είναι ίσες ως συμπληρώματα της ).

Οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως .

Άρα τελικά έχουμε , δηλαδή .

Ομοίως είναι , άρα και .

Αφού τώρα είναι και , άρα δηλαδή τα είναι συνευθειακά.

[min##]

Άλλη μια για τη 2.
Έστω .
Είναι:
1) εγγράψιμα από αντιστροφή κέντρου .
2) συντρέχουσες, αφού λόγω πολικών.
Οπότε αρκεί νδο η τέμνει την στο συμμετρικό του ως προς το .

Έχω άρα εγγράψιμο (η 3η,4η ισότητα εξαιτίας του εγγράψιμου ).
Ακόμα από τα εγγράψιμα έχω από Reim's πως .
Λόγω αυτών των παραλληλιών και επειδή ,η περνάει από το μέσον του .
Αν λοιπόν ,το θα είναι το μέσον του (τραπέζιο ) και άρα προβάλλοντας την αρμονική στην καταλήγω στο ότι .
Εντελώς όμοια προκύπτει πως .
Έτσι και επειδή το είναι εγγράψιμο (παραπάνω) παίρνω πως το είναι εγγράψιμο.
Είναι απλό πως οι είναι ισογώνιες ως προς τη -οι θα είναι επίσης.
Συνεπώς το είναι ισοσκελές τραπέζιο,δηλαδή , και καθώς η διχοτομεί την (τραπέζιο ) θα είναι η ευθεία που ενώνει τα μέσα στο τρίγωνο που ορίζουν οι κλπ.